第八课 行程问题

一、行程问题中基本数量关系

路程=时间×速度时间=路程÷速度速度=路程÷时间二、例题分析：

例 1 某人由甲地去乙地，原计划每天走 100 公里，18 天走完全程，实

际比原计划提前 3 天到达，实际比原计划每天多走多少公里？

**分析与解答：**要求出实际每天比原计划多走多少公里，可以先求出实际 每天走多少公里．

100×18÷（18-3）-100=1800÷15-100

=120-100=20（公里）

答：实际比原计划每天多走 20 公里． 上述问题也可以用下面的方法来考虑：

实际与原计划所走的总路程是相同的．根据反比例意义可知，每天走的公里数与走完全程所用的时间成反比例关系，由此可知，原计划走完全程所用的天数与实际走完全程所用的天数比是 18∶（18-3），即 6∶

5，由此可知，实际每天走的公里数比原计划每天走的公里数多( 6 − 1) ，

5

于是实际每天比原计划每天多走的公里数是：

100 × (

18

18 − 3

− 1)

= 100 × ( 6 − 1)

5

= 100 × 1 = 20(公里)

5

例 2 小明家离学校 4000 米．小明去上学，前一半时间跑步前进，每分

钟跑 200 米，后一半时间搭乘一辆汽车，每分钟前进 600 米，小明后一半时间走了多少米？

分析 小明从家到学校的 4000 米路程，是分成两段走完的，每一段速度均已给出，只要求出走每一段的时间，就可求出每段的路程，其总和应为 4000 米．

解 设小明从家到学校用了 x 分钟，列方程得：

200 x 600 x 4000

⋅ 2 + ⋅ 2 =

解得：x=10（分钟）

∴后一半时间所走的路程为：

600 × 10 = 3000(米)

2

即：小明后一半时间走了 3000 米．

例 3 从 A 城到 B 城，甲要走 2 小时，乙要走 1 小时 40

分钟，若甲比乙先行 10 分钟，那么乙出发后多少分钟追上甲？

分析与解答 甲走完全程用 2 小时，即 120 分钟，乙走完全程需 1 小

时40分钟，即100分钟，所以每分钟甲走完全程的

1

120

，乙走完全程的

1

100

．现在甲先走10分钟，乙追上甲时，两人走的路程相同．不妨将A

城到 B 城的路程看作“ 1”，将甲、乙两人所走的路程分别表示出来，根据两路程相等，即可求出所用时间．

解 设乙出发 x 分钟后追上甲，设全程为“ 1”，列方程得：

1

120

× 10 +

1 x =

120

1 x 100

x＝50

答：乙出发 50 分钟后追上甲．

例 4 一条轮船往返于甲、乙两地之间，由甲至乙是顺水航行；由乙至甲

是逆水航行．已知船在静水中的速度是每小时 15 千米，逆水航行所用时间是

顺水航行所用时间的 2 倍，求水流速度．

分析 不论逆水航行，还是顺水航行，轮船所行驶的路程相等，而船顺水航行时其速度是船在静水中的速度与水流速度之和，而逆水航行时船的实际速度等于船在静水中的速度与水流速度之差．

解 设水流速度为每小时 x 千米，由甲到乙所用时间为 a 小时，列方程得：

（15＋x）·a＝（15－x）·2a 15＋x＝2（15－x）

x＝5

答：水流速度为每小时 5 千米．

注：这里为了解决问题的需要，使用了参数．

例 5 某人步行速度是每小时 10 千米，骑车的速度是每小时 30 千

2 3

米．他从甲地到乙地 5 的路程走路， 5 的路程骑车．从乙地沿原路返回

3 2

甲地时， 5 的路程走路， 5 的路程骑车，结果比去时多用了12分钟，

求甲、乙两地距离．

解 设甲、乙两地相距 x 千米，列方程：

2 x ÷ 10 + 3 x ÷ 30 = 3 x ÷ 10 + 2 x ÷ 30 − 12

5 5

x＝15

5 5 60

答：甲、乙两地相距 15 千米．

例 6 某人步行的速度是每小时 10 千米，乘车的速度是每小时 40 千

1 4 1

米．他从甲地到乙地 5 的路程走路， 5 的路程乘车．回来时用 6 的时间

5

走路， 6 的时间乘车，结果比去时少用1小时，求甲、乙两地的距离．

解 设甲、乙两地距离为 x 千米，去时所用时间为 y 小时，列方程得：

1 x / 10 + 4 x / 40 = y

(1)

5 5



 ( y − 1) ⋅10 +

 6

5 (y − 1) ⋅ 40 = x

6

(2)

由（1）得y = 1

25

x=87.5（千米）

x，代入（2）可解得

答：甲、乙两地之间的距离为 87.5 千米．

例 7 A、B 两标杆之间的距离为 70 米，甲、乙两人在 A、B 两标杆之间进行折返跑．已知甲的速度为每秒钟 x 米，乙比甲每秒钟快 2 米，若两人同时从标杆 A 处出发，经过 15 秒钟两人第二次相遇，求 x．

分析 当两人第二次相遇时，两人跑的距离的和是两标杆之间距离的 3 倍．

解 列方程得x×15＋（x＋2）×15＝70×3 x＝6

答：x 的值为 6．

例 8 甲、乙二人同时从 A 地去 130 千米外的 B 地，两人同时出发，甲先乘车到达某一地点后改为步行，车沿原路返回接乙，结果两人同时到达 B 地．已知甲、乙二人步行的速度是 6 千米/小时，汽车的速度是每小时 60 千米．问甲下车的地点距 B 还有多少千米？

分析 甲、乙二人走的路程均分为步行、乘车两部分，两人速度相等， 这说明，二人乘车的路程和步行的路程分别相等．由于二人步行的速度为每小时 6 千米，乘车的速度为每小时 60 千米，所以，在相同的时间里，乘车所

走的路程是步行所走路程的 10 倍．

解 设甲下车的地点距 B 还有 x 千米，所以汽车返回接乙时，乙在距 Ax 千米处上车，此时，汽车再到 B 所行驶的距离为 11x，而车行驶的路程与两人步行路程的和恰好是 A、B 两地距离的 2 倍，所以有：

x + 60 x + x + x = 130×2 6

x=20（千米）

答：甲下车地点距 B 还有 20 千米．

例 9 甲、乙两辆车分别在 A、B 之间和 A、C 之间往返运行．已知 A、B 两地之间的距离为 10 千米，A、C 两地之间的距离为 15 千米．若甲车每小时行驶 40 千米，乙车每小时行驶 50 千米，现在两辆车同时从 A 站出发，经过多少小时，两车第一次在 A 站相遇？

分析 当两车再次相遇时，所走路程不同，但所用时间相同，故可以考虑以时间做为等量关系．又当两车相遇时，两车所往返的次数必为整数，故可设两车再次相遇时甲车往返了 x 次，乙车往返 y 次，我们只需根据所用时间相等，求出满足条件的 x、y 的最小整数值即可．

解 设两车再次相遇于 A 站时，甲车往返了 x 次，乙车往返了 y 次，列方程得：

10 × 2 ⋅ x = 15 × 2 ⋅ y

40 50

x = 6 y

5

当 y=5 时，x 即可取得整数．

所以：当乙车第五次返回 A 站时，再次与甲车相遇，此时乙车行驶的路程为 15×2×5=150，所用的时间为 150÷50=3（小时）

答：经过 3 小时，甲、乙两车又在 A 站相遇．

例 10 一个游泳池长 25 米，甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，

游到另一端立即返回，照这样往返游，两人游了 1 分钟．已知甲每秒钟游 3 米，乙每秒钟游两米，从出发后的一分钟内，二人相遇了几次？

分析与解答：两人同时从游泳池的两端出发，第一次相遇时，两人游的路程总和为 25 米，以后则每次两人游的路程和为 50 米时相遇．两人游了 1

分钟，总共游了 300 米，除去第一次相遇时的 25 米，还有 275 米，我们只需

看一看这 275 米中含有几个 50 米就可得出两人相遇的次数．

故，在两人出发 1 分钟内，相遇的次数为： 1+[（3×60+2×60-25）／ 50]=1+[275／50]

=1+5=6

即：两人总共相遇 6 次．