第十五课 长方体和正方体

说到长方体和正方体，会使我们想起长方形与正方形，字面上它们仅一字之差，但却是不同的两个概念．前者是空间图形，后者是平面图形．然而它们之间却紧密关联．掌握好平面图形的概念，是学好空间图形概念的基础．

下面让我们回顾一下长方形和正方形的基本概念．见表 15—1．

那么什么是长方体？什么是正方体呢？ 一、长方体和正方体的基本概念

在日常生活中，我们经常可以看见长方体形状的物体．如盖房子用的红砖、装拚图玩具的盒子，我们学习用的课本等，它们都是以长方体形状出现的．如图 15—2．

长方体一共有六个面，每个面都是长方形（或正方形），并且相对的两个面的大小是相等的，所以长方体一共有 3 对大小相等的面，即相

对面的面积相等．长方体中两个面相交的边叫做棱，它共有 12 条棱，并

且相互平行的棱的长度是一样的．长方体有 8 个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高（见图 15—3）．

要注意的是长方体的长、宽、高具有相对性．如果我们先认为哪条棱为宽，那么另两条棱相对来说就是长方体的长和高，所以宽不一定长度最短．长方体的摆放位置是可以变动的，也就是说长方体的长、宽、高是人们根据自己的需要而规定的．

长、宽、高相等的长方体叫正方体．正方体的长、宽、高统称为棱长．正方体是一种特殊的长方体，它也有六个面，是六个面积均相等的正方形且 12 条棱的长度也相等，即正方体是长方体的特殊情况．所以长方体的概念包含了正方体的概念（见图 15—4）．

例 1 如图（15—5）是一个长方体，它是由四个小矩形组成的，其中三个小正方形的面积是已知的，它们分别是 14、21、32．求第四个小矩形（阴影部分）的面积是多少？（单位：cm²）

分析设面积为 21cm² 的矩形的长乘以面积为32cm² 矩形的宽为所求面积，而面积为 21cm² 矩形的宽乘以面积为 32cm² 矩形的长恰好是面积为14cm² 的面积．抓住了问题的关键，便可以解题了．

解依题意可列式32×21÷14 = 32×21 = 48（cm²）

14

答：所求矩形面积为 48cm²．

例 2 一个长方形纸盒，长 8cm，宽是长的 3／4，高是宽的一半，求这个长方体的棱长总和是多少厘米？

分析因为长方体一共 12 条棱且互相平行的棱的长度是相等的，所以

长度为8cm的棱有4条，宽为8× 3 cm的棱有4条，高为8 3 1 cm

4

的棱有 4 条．

× 4 × 2

解设棱长的总和为 1，则依题意有

1 = 8×4＋（8 3 4＋（8 3 1 4

× 4 ）× × 4 × 2 ）×

=4（8＋6＋3）=4×17=68（cm）答：棱长的总和为 68cm．

二、长方体和正方体的表面积

长方体共有六个面，它的表面积为六个面积的总和，而每一面都是矩形（或正方形）．又因为长方体每相对的两个面积相等，所以它的表面积公式由长方体的长（用字母 a 表示）、宽（用字母 b 表示）、高（用字母 c 表示），那长方体的表面积公式为：S=2（a×b＋b×c＋c×a）（图 15—6）

而正方体的六个面是全等的正方形．所以正方体的表面积公式为（正方体的棱长用字母 a 表示）（见图 15—7）：S=6a²

例 3 育英小学要修建一个游泳池，它的长是 40 米，宽是 20 米，平

均水深是 2 米，把游泳池的四壁和底部都用边长为 4 分米的白瓷砖铺盖一层，至少要用白瓷砖多少块？

分析首先要弄清楚这个游泳池共有几个面要铺白瓷砖，铺白瓷砖的面积总和是多少，有了面积和，再求需要多少块白瓷砖．

解如图 15—8 共有侧面和下底面要铺白瓷砖，它们的面积总和为： S=40×20＋2×20×2＋2×40×2

=800＋80＋160=1040（米 ²）

共需要白瓷砖 1040÷0.4²=6500（块） 答：这个游泳池共需要白瓷砖 6500 块．

例 4 一个正方体增高 3 厘米，就得到一个底面不变的长方体，它的

表面积比原来的正方体的表面积增加 96 平方厘米，求原来正方体的表面积？

分析原正方体的高增加，则它的面积扩大，而扩大的这部分面积只有 4 个侧面的面积上下底面积并没有变化，注意到这一点问题就好解决了．

解：设正方体的棱长为 x 厘米，则96=4×3x=12x ∴x=8

所以正方体的表面积为 6×8²=384（平方厘米） 答：原来正方体的表面积为 384 平方厘米．

例 5 一个物体的尺寸如图（15—9），（单位 dm）求此物体的表面积？

分析由图 15—9 可以看出此物体为正方体与长方体的组合体，它的表面积为正方体的表面积减去两个长方形面积还要加上中孔四周的面积．

解 S=6×5²-2×3×2＋2×5×2＋3×5×2

=6×25-12＋20＋30=150＋38=188（dm²）

答：此物体的表面积为 188 平方分米．

例 6 如图（15—10），由 20 个棱长为 4 厘米的正方体重叠放在一起构成了一个新的组合体．求这个组合体的表面积？

分析通过看图观察，这 20 个正方体没有一个正方体的六个面都能看到，为了解题方便我们把这 20 个正方体按层分别编号，见图 15—11，其

中能看到 5 个面的正方体有 1、11、20 号，能看到 4 个面的正方体有 2、4、5、10、15、18 号，能看到 3 个面的正方体有 8 和 14 号，能看到 2 个面的正方体有 3、7、12、13、17 和 19 号，只能看到一个面的正方体有 6、9、16 号．

解设 Si 表示能看到 i 个面的正方体，（其中 i=1，2，3，4，5）则有：

S1=4²×3=48，S2=4²×6=96，S3=4²×2=32 S4=4²×6=96，S5=4²×3=48

所以：表面积为 S=S1＋S2＋S3＋S4＋S5=320（平方厘米）

这类题目要求同学在观察图形时必须具备一定的空间想象能力还要细心．

三、长方体和正方体的体积

前面我们已经提到过日常生活中我们见过不少长方体形状的物体， 如家里的电冰箱，火柴盒．虽然它们都是长方体形状的物体，但它们在家里占有空间的位置可大不一样，电冰箱比火柴盒占有的空间位置可大的多．我们规定物体的体积就是物体占有空间位置的大小．我们用字母 V 表示长方体的体积，a，b，h 三个字母分别表示长方体的长、宽、高，则长方体的体积公式为长方体的底面积乘以它的高即：V=a×b×h．因为正方体中 a=b=h，所以正方体的体积公式是 V=a³．下面我们通过以下几道例题看看如何应用它们的体积公式解决问题．

例 7 两根同样长的钢丝，一根做长方体的模型架子，另一根做正

方体模型的架子，已知长方体模型的长是 12 分米，宽是 9 分米，高是 6 分米，求哪个模型所代表的物体的体积大？大多少？（接头处略去不计）

分析 由已知可求出长方体棱长的总和而这个数字正好是正方体的棱长总和，有了正方体的棱长正方体的体积便可以求出来．

解 因为长方体棱长总和=4×（12＋6＋9）=4×27=108（dm），所以正方体的一条棱长=108÷12=9（dm），所以长方体的体积 V1=72×6× 9=648（dm³），正方体的体积 V2=93=729（dm³）V2-V1=729-648=81（dm³）

答：正方体模型所代表的体积大．大 81 立方分米．

例 8 有一块长方形铁皮长 24 厘米，宽 14 厘米，如图 15-12，剪掉同样的四个角（阴影部分）再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，求这个铁盒的容积？

分析 剪去四个角长为 24-4×2=16（cm）宽为 14-4×2=6（cm）高

为 4（cm）

解 V=16×6×4=384（cm³）

答：这个铁盒的容积是 384 立方厘米．

例 9 一个长方体水箱，水箱内长 12 分米，宽 8 分米，水深 4 分米，

现把水箱的水全部倒入一个棱长为 8 分米的一个正方体容器内，求倒入水的高度是多少分米？

分析 此题的关键是抓住原来水的体积等于倒入正方体容器内水的体积．

解 [（12×8×4）÷8]÷8=（384÷8）÷8

＝48÷8＝6（dm）

答：倒入正方体容器内水的高度是 6 分米．

例 10 一个长方体容器，从里面量，长为 50 厘米，宽 40 厘米，高

为 30 厘米，原来容器里的水面离容器口的距离是 4 厘米，现放入一个棱

长为 10 厘米的正方体铁块，求此时水面离容器口的距离是多少厘米？

分析 棱长为 10 厘米的正方体铁块放入容器后水面的高度上升，上升水的体积就是铁块的体积．

解 V 铁=10³＝1000（cm³）

水面上升的高度 h=1000÷50÷40=0.5（cm）

∴水面离容器口的距离是 4-0.5=3.5（cm）

例 11 一个正方体木块，在它的一个角上割去一个小正方体，如图

（15-13），问现在这个多面体表面积与以前的正方体表面积相比有无

1

变化？若小正方体的棱长是原大正方体棱长的 3 ，问小正方体的体积是

大正方体体积的几分之几？

分析 大正方体的角上割去一个小正方体后，表面积并没有发生变化，只是体积减小了．

解 由图 15-13 可以看出割去一个小正方体后表面积没有发生变化．设原正方体棱长为 x，则：

V小正方体

（ 1 x） ³

= 3 = 1

V大正方体

x³ 27

所以，小正方体的体积是大正方体体积的 1 ．

27

关于长方体与正方体的计算题目有很多，我们从小学就开始学习， 以后还要继续学习，因为它们有很广泛的应用．这类题目的解法关键是掌握好它们的基本性质和基本计算公式．