第四课 循环

小数是十进制分数的另一种表现形式，比较分数和小数大小时，经常遇到分数与小数的互化问题．由于“任何一个整数都能分解成若干个质数的积的形式”，我们把分数化为小数，可在分母的质因数分解上分类讨论．

结论 1，一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含其它质因数，则这个分数必化为有限小数且在这个有限小数中，小数部分的位数等于分母中含 2，5 因数个数的最大数．

例如 1 = 0.5．分母中含有一个2，小数部分的位数是1． 2

3 = 0.15．分母中含2、5个数的最大数是2（20 = 2² ×5），小数

20

部分的位数也是 2．

5 = 0.125．分母中含2、5个数的最大数是3（40 = 2 ³ ×5），小数

40

部分的位数也是 3．

结论 2，一个最简分数，如果分母中只能分解出 2 和 5 以外的质因数，则这个分数必化成纯循环小数，这个纯循环小数的循环节的最少位数等于能被分母整除的、由 9 构成的数中最小数的 9 的个数．

例如 2

3

·

= 0. 6 ．循环节最少位数是1位，分母3能整除由9构成数

的最小数是 9，只含 1 个 9．

4 · ·

= 0. 5 57142 8

7

，循环节最小位数是6位，分母7能整除由9构成

数的最小数是 999999，含有 6 个 9．

5 · ·

= 0. 4 5

11

循环节中最少位数是2位，分母11能整除由9构成数

的最小数是 99，含有 2 个 9．

结论 3，一个最简分数的分母中，如果既有 2，5 这样的因数，又含有 2，5 以外的质因数则这个分数定能化成混循环小数，它的不循环部分的数字个数等于分母因数中 2，5 个数较多一个的个数，循环节的最小位数等于分母中除 2，5 以外因数积能整除的 9 构成数字中最小数中含 9 的个数．

例如 1

6

·

= 0.1 6 （6 = 2×3）不循环的数字有1个，循环节最少位

是 1 位，分母中只有一个 2，其余因数 3 能整除的最小 9 构成的数是 9 且只有一个 9．

1 ·

30 = 0.0 3 （30 = 5×2×3）不循环的数字有1个，循环节最

少位数是 1 位，而分母中含 2，5 各 1 个最大的也是 1；2，5 以外的因数是 3，能整除 9 构成数中最小数 9，只含 1 个 9．

5 · 3

24 = 0.208 3 （24 = 2

×3）不循环的数字有3个，循环节最少位

是 1 位，分母中含因数 2，5 的最大数是 3，含 2，5，以外因数 3，能整除 9 构成数中最小数 9，只含 1 个 9．

2 · ·

105 = 0.0 1 9047 6 （105 = 3×5×7）不循环的数字有一个，

循环节最少位是 6 位，分母只含 1 个 5，2、5 以外的因数积为 21，能整除 9 构成数中最小数 999999 有 6 个 9．

例 1 求一个最小分数使它的分子为 7 且满足①化成小数后是纯循环小数，②循环节最少位数是 4．

分析 要化成纯循环小数则分母中不含因数 2 和 5，要使分数有四个循环节则分母最小能整除 9999 而不能超过这个数，故最大也是 9999．因

而所求的最小数是 7

9999

· ·

例 2 将0. 3 1 2

· ·

· ·

和0.12 3 4

化成分数

解 设 0. 3 1 2 = x

· ·

则 312. 3 1 2 = 1000x

· · · ·

故1000x - x = 312．

即 999x=312

x = 312 = 104

3 1 2 - 0. 3 1 2

999 333

· ·

设 0.12 3 4 = y

· ·

则 12. 3 4 = 100y

· ·

1234. 3 4 = 10000y

· · · · 故 9900y = 1234. 3 4 - 12. 3 4

即 y = 1222 = 611

9900 4950

结论 4 纯循环小数可化成这样的分数；分数的分子是一个循环节所表示的数，分母是由 9 构成的数，9 的个数等于一个循环节中数字的个数．混循环小数可化为这样的分数，它的分子是由第二个循环节以前的小数部分数字组成的数与小数部分中不循环数字数字组成数之差，分子前面由 9 构成，后面由 0 构成，9 的个数为循环节中数字个数，0 的个数为不循环数字的小数．

· · 如 0. 5 1 8 =

518

999

· · ·

，0.3 4 2 5 =

3422

9990

= 1711

4995

· ·

12.30 9 7 =

3067

9900

· ·

例3 已知循环小数0. 1 2365 4

，问小数点后1996个数字是什么？

分析 由于循环节有 6 位数字，考查第 m 个数字除以 6 所得余数对应的数字，得下表：

解 由于 1996=6×332+4

即 1996 除以 6 余 4，第 1996 个数字是 6

例 4 1995 年元旦是星期日，1997 年元旦是星期几？

分析 由于每周七天，每七天一循环．求到 m 天，是星期几的问题是m 除以 7 的余数问题．由于 1996 年是闰年，从 1995 年元旦到 1997 年元旦共有 365×2+1+1=732 天．从 1995 年元旦到第 m 天，m 除以 7 的余数与星期几的关系如下表：

解 从 1995 年元旦到 1997 年元旦共有 732 天

由于 732=7×104+4

即 732 除以 7 余 4

故 1997 年元旦应是星期三．

特别要注意过多少天比共多少天少一天，是过了 732 天此时所表为

由于 732 除以 7 余 3 故得之是周三．

例 5 甲乙二人在 400 米环形跑道上相距 100 米，甲练习跑步，速度

为 150 米/分，乙练习跑步，速度为 250 米/分．若他们同时出发，相向而行，问过多少分钟后第五次相遇？

分析 相向而行并没指出是朝相距 100 米方向还是朝相距 300 米方向．因而有两个答案．每次相遇事实上可看成一个循环，所用时间是相

同的，时间是

400

150 + 250

= 1（分钟），若他们朝相遇100米方向相向而

行，则第一次相遇用 100 = 0.25（分），第五次相遇时所用时间为

400

100÷（150+250）+4×400÷（150+250）=4.25（分）

若他们朝相距 300 米方向相向而行，则第五次相遇的时间为300÷（150+250）+4×400÷（150+250）=4.75（分）

例 6 试求 3¹⁹⁹⁵+4¹⁹⁹⁶+7¹⁹⁹⁷ 的个位数字分析 实验可得 aⁿ 的末位数字如下表：

由此可归纳出：若 a 是一个数字则 a^4k+1 的末位数字仍是 a（其中 k 为自然数）

由于 1995=4×498+3 知 3¹⁹⁹⁵ 个位数字是 7

1996=4×499 知 4¹⁹⁹⁶ 个位数字是 6

1997=4×499+1 知 7¹⁹⁹⁷ 个位数字是 7

故 31995+41996+71997 个位数字为 0

例 7 菲波那契数列定义如下：前两个都是 1，从第三个数起，每个数是前面两个数的和，于是它的前面几个数是 1，1，2，3，5，8，13， 21，⋯

1. 求其中第 1994 个数被 3 除的余数？

2. 如果在前 n 个数中恰有 500 个数是 3 的倍数，求 n

分析 如果按数列定义求出第 1994 个数，计算量很大，将前面每一数除以 3 求余数寻找规律：如下表

可知余数按每 8 位循环重复出现．

由于 1994=8×249+2 而第二个数被 3 除余 1，故第 1994 个数被 3 除余 1．

由于数列余数每 8 位循环重复，而每 8 位中有两个是 3 的倍数，而

500÷2=250 250×8=2000 故 2000 个数中必有500 个能被 3 整除的数．又

由于循环的 8 个余数中第 8 个被 3 整除，故前 2000 个数中恰有 500 个数

是 3 的倍数．

例 8 如图 4—1 一只蚂蚁在 A、B 之间沿曲线作往返运动，由 A 爬到C 时用 12 分钟，若从 A 点出发 2.5 小时后，这只蚂蚁在什么位置？请在图中标出这个位置．

分析 由 A 到 B 再由 B 到 A 可看成一个循环，先求出一个循环所需

时间是 12 ×10 = 40（分）

3

由 2.5×60=40×3+10 可知由 A 爬 10 分钟（或由 C 向 A 爬 2 分钟）

∩

即CD 中点E为所求

即中点E 为所求

例 9 自然数中若一个数可表示两个不同自然数的平方差则称这个自

然数为“好数”，如 16=5²-3²，16 就是“好数”．在自然数中，从 1 算起第 1996 个“好数”除以 4 的余数是几？

分析与解 先找出“好数”并按从小到大顺序排列前几个并求除以 4 的余数找规律，如下表

可知从第三个“好数”开始，除以 4 的余数每 3 位循环重复．由于

1996-2=3×664+2

故第 1996 个“好数”除以 4 的余数是 0

1．将分数

3 ，

140