数学在物理中的应用

江苏 周一清

物理离不开数学。数学在物理中的应用比比皆是，现就高中数学里求最值的问题，举例如下。例 1，在离地 20 米的塔顶，以 20 米/秒的初速度斜向上抛出一小球，求物体的最大射程为多少？要得此最大射程，应以怎样方向抛出？（不计空气阻力，g＝10 米/秒 2）解：由抛体运动公式并注意到小球着地点是在抛出时的水平线以下 20 米，因此有：

x ＝20cosθ·t ①



－20＝20·sinθ·t－10t ² / 2 ②

由（1）t＝x / 20cosθ代入（2）得：

－20＝x·tgθ－5·x² / 400cos²θ ⇒ －20

＝x·tgθ－x²（1＋tg²θ） / 80

整理得： x²tg²θ / 80－x·tgθ＋ x² / 80－20＝0

要求射程 x 的最大值，显然可用数学里的判别式求最值法。把 tg θ 作为

未知数，∵tg θ ∈R，∴△≥0，即x2－4·x² （x² / 80－20） / 80≥ 0，当然

不取x²＝0. 因此得x²≤3200。∴－40 2≤x≤40 2最大射程为40 米 。

此时tgθ＝ x / （2·x² / 80）x＝40 / x＝40 / 40 2＝ / 2，θ＝

arctg（ / 2）≈35°6′，即斜向上与水平线夹角为35°16′。

例 2，一个重 20 千克力的物体放在粗糙的平面上，设摩擦系数为 0.4， 外力与水平方向夹角多大时，拉动最省力？

解：根据受力情况分析： F·cosθ＝f＝0.4（20－F·sinθ） F＝0.4×20/（cosθ＋0.4sinθ）

欲使拉力 F 最小，必需 cosθ＋0.4sinθ最大，这就是数学中的利用三角函数有界性求最值。

设y＝cosθ＋0.4sinθ＝ 1＋0.4² sin（θ＋ϕ） 其中ϕ 可由 tg ϕ ＝1/0.4 ＝

2.5 中求得，查三角函数表： ϕ ＝68°12′。∴y＝

sin（θ＋68°12

′ ） ， 易 知 当 θ ＝ 21 ° 48 ′ 时 ， y 最 大＝ ， 从 而

F最小 ＝0.4×20 / 1.16≈7.43 。

故以斜上向 21°48′拉动物体时，拉力最小约 7.43 千克力。

例 3，电阻是 1 欧姆的外电路，用 18 个蓄电池来供电，每个电池的电动

势都是 2 伏，内电阻都是 0.5 欧姆，先把蓄电池串联成相同个数的几组，然后再把各组并联起来，组成混联电路，如何混联，才能在电路中得到最大的电流强度？电流强度最大值是多少？

解：设每一组中有 x 个电池串联，那么每一组的电阻是 0.5x 欧姆、电动势是 2x 伏，这时就有 18/x 个串联组，并联后电池组总的电阻是 0.5x/

（18/x）＝x2/36，总的电动势是 2x 伏。电路中的电流强度由欧姆定律得 1

＝2x/（x2/36＋1）。

要问如何混联，电流强度有最大值？问题归结为 x 为何值时 1 最大，这是数学中求分式最值问题。这里，可以转化为关于 x 的二次方程，利用判别式法求得，亦可转化为：1＝2/（x/36＋ 1/X），变力求分母的最小值。

利用基本不等式法：

X / 36＋1 / x≥2

即 x＝6 时取等号。

（X / 36）·（1 / X）＝1 / 3，当且仅当X / 36＝1 / x ，

∴x＝6 时，I 最大＝2/（1/3）＝6。

就是先把每 6 个电池串联成一组，共 3 组。再把这 3 组并联，就可在外

电路上得出最大电流为 10 安培。

数学中的知识换了个情境，同学常感陌生或突然；除了对情境缺乏具体的了解和有关知识联系不上，关键还在于原来的数学知识不巩固，掌握不深刻。我们要熟练应用这些数学知识不管搬家到那里，如何装扮，都能从本质上把它归结为相应的数学问题。