开普勒定律的应用——“唯尔福迎接新世纪全国中学生英才选拔活动” 理科征答题第 13 题简析

北京大学教授 舒幼生

1994 年 7 月发生的彗木相碰是人类难得观察到的一次天文奇观，爱好物理的中学生对此也极感兴趣。本题根据这一现象编制而成，希望学生运用开普勒定律，结合题图给出的彗星椭圆轨道，距离标尺及日期数据，近似计算出彗星碎片与木星相碰时的相对速度大小。

学生首先可用直尺量出椭圆最远两点间距以及与此间距垂直的轨道最宽间距，参考距离标尺可得椭圆长、短半轴分别约为：

A＝24×10⁶ 千米，B＝1.3×10⁶ 千米

彗星在 1993 年 3 月 25 日的位置和在 1994 年 7 月 15 日的位置几乎相距半个椭圆，周期可估算为：T＝2（1 年＋110 天）＝950

天彗星碎片刚进入木星大气层时相对木星的速度可估算为椭圆轨道中近木点的速度 v，设远木点的速度为 v，参考下图有机械能守恒式。

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mv² / 2－GMm / （A－C）＝mv′² / 2－GMm / （A＋C）

其中 m 为彗星碎片质量，M 为木星质量，C＝ 中心的间距。又据开普勒第二定律有：

v（A－C）＝v′（A＋C）

联合这两个式子，即可算得：

v＝（A＋C）

木星中心与椭圆

将开普勒第三定律所得GM＝4π ²A³ / T² 代入上式，可得： v＝2πA （A＋C）/BT

因彗星轨道参量中，A■B，计算中可近似取 C＝A，即有：

v＝4πA² / BT

将 A、B、T 数据代人，可算得：

v＝[4π×（24×10⁶ ） ² / 1.3×10⁶ ×950×24×3600] 千米 / 秒 ＝68 千

米/秒。