●数学与思维

高考数学题源于课本的几种形式

西藏 钟国启

高考试题年年翻新，但万变不离“本”，课本是高考题的重要来源。特别是近年来，以课本中题目及其“变式题”和“组合题”作为高考题的趋势更加突出。近三年的会考卷和高考卷中，每年均有一些考题在课本中可以找到原型，源于课本的试题都占总分的一半以上。下面结合实例介绍高考数学试题源于课本的几种方式，供复习参考。

一、沿用课本中的原题作为高考题

考题一[1992 年理科（26）题] 已知：两条异面直线 a、b 所成的角为θ， 它们的公垂线段AA 1 AA1 的长度为 d，在直线 a、b 上分别取点 E、F，设 A1E

＝ m、AF＝n，求证： EF＝

此题直接选自《立体几何》课本，然而许多同学在学习此例时，只记住例题的结论，重点放在用结论求异面直线上两点间的距离，而忽视证明过程， 因而导致失分。

二、将课本中的题目改动数据作为高考题

考题二[1994 年文理科（6）题] 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为 2 个），经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成（）。

1. 511 个 B. 512 个 C. 1023 个 D. 1024

   个原题在高中《代数》下册中有“某种细菌在培养过程中，每 30 分钟分裂一次（一个分裂为 2 个），经过 4 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成多少个？”

考题仅将课本中的习题改动了两个数据，其思考方法、解题过程与课本中的习题完全一致。

三、将课本中的题目变形作为高考题

考题三[1994 年文理科（9）题] 使（ 6－

数 n 等于（）。

A. 3 B.4 C. 5 D.6

2i） ⁿ 是纯虚数的最小自然

原题在高中《代数》下册中“n（n∈N）是什么值的时候，（1＋ 是一个实数？”

3i ） ^n`

将原题中的数据改动，“实数”改为“纯虚数”，并要求指出 n 的最小值，便得到高考题，两题解法类似。

四、运用课本中的题目的结论编高考题

考题四[1992 年理科（15）题］ 已知：Z 的模为 2，则│Z－i│的最大值为（）。

1. B.2 C. D. 3

原题在高中《代数》下册中“设 Z、Z2 是不等于零的复数，用几何方法证明‖Z1｜－｜Z2‖≤｜Z1 ±Z2｜≤｜Z1｜＋｜Z2｜”。

只要记住了课本上习题的结论，就可由｜Z｜－｜i｜≤｜Z｜＋│i│而迅速得出选 D。

五、将课本中的题目拓展为高考题

考题五[1991 年理科（23）题] 根据函数单调性的定义，证明函数 F（x）

＝－ x³ ＋1 在（－∞，＋∞）上是减函数。

考题把高中《代数》上册中“证明函数 f（x）＝－ x³ ＋1 在（-∞，0）

上是减函数”作了拓广。将原题中区间（－∞，0）拓广为（－∞，＋∞），

增大了证明当x1 ＜x2 时，f（x1 ）－f（x2 ）＞0的难度。

六、将课本中的题目合理组合为高考题考题六[94 年文理科（3）题]

lim n → ∞

C⁰_n＋C¹_n ＋C² _n＋

1 + 2 + 2²Λ +2 ⁿ

Cn n

＝（ ）

A.0 B.1/2 C.1 D.2

此题似曾相识，我们不难从课本中找到其“影子”。原题在高中《代数》下册中“求

lim 1 1 1 1 1 1

n→∞ （1＋ 2 ＋ 4 ＋ ＋ 2 n ） / （1＋ 3 ＋ 9 ＋ ＋ 3n ）

”。 在高中《代数》下册中也有“证明C^on ＋C¹n ＋C² n ＋ ＋Cⁿn ＝2 ⁿ ”。

在高中《代数》下册中也有“已知等比数列 1 1 1 1 ，求这个数列

2 、 4 、 8 2ⁿ

前 n 项和当 n→∞时的极限。”这几道课本上的题目都与有关考题相仿，这

说明我们在数学复习中，首先必须对课本上的概念与有关例题钻深钻透，打好扎实的基础，练好一手基本功，才能适应新形势的要求。