极值方法——中学物理学习方法谈之五

上海 张主方

物理中求极值的问题，可运用数学方法解决，而恰当运用物理方法则事半功倍。现在通过下述问题来加以说明。

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !05800890_0104_1.bmp}

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !05800890_0104_2.bmp}

问题：如图（1），半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为 m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场。图中珠子所受静电力是其重力的 3/4 倍，若将珠子从环上最低位置 A 点静止释放，则珠子所能获得的最大动能 EKm 为多少？

物理方法：对珠子受力后的运动作过程分析。珠子在最低点受到重力 G、电场力下和环的弹力 N（始终沿径向）的作用，开始从静止向右沿环向上作加速运动。此间，由于弹力方向不断改变，合力的大小和方向也在改变，至珠子跟圆环圆心连线与竖直方向的夹角为某－θ值的位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，动能最大，继后再作减速运动。由图（2）可知，该位置处在：

F 3 / 4mg 3 3

tgθ＝ mg ＝ mg ＝ 4 ，θ＝arctg 4 。由动能定理，珠子的最大动能

Ekm 应有下式表示：

Exm－0＝WF －WG ＝Frsinθ－mgr（1－cosθ）

其中WF、WG ` 分别表示电场力和重力对珠子所做的功，又因 sinθ＝ 3/5，cosθ＝4/5，代入上式后，可得：

E ＝ 3 mg, 3 －mgr（1 4 1 mgr

km 4 5

－ 5 ）＝ 4

数学方法：可运用三角方程求极值的数学方法，直接从动能定理表达式中，求出珠子所能达到的最大动能Ekm ，设珠子运动到跟与环心的连线与竖直方向成某一夹角 a 时，珠子的动能增量为：

3

Exm－0＝ 4 mg , sina－mgr（1－cosa）

＝mgr（ 3 sina＋cosa）－mgr ①

4

对①式括号中三角方程通过归一化变换得：

3 5 3 4

1. sina＋cosa＝ 4 （ 5 sina＋ 5 cosa）②

3 4

β＝ 5 ， β＝ 5 ，代入②式有：

4 5

1. （cosβsina＋sinβcosa）－ 4 sin（a＋β）③

将③代入①后有E

＝ 5 mgrsin（a＋β）－mgr

km 4

在该式中，当a＋β＝90°时，Ek 有最大值，即有：

Ekm＝ 5 mgrsin90°－mgr＝ 5 mgr－mgr＝ 1 mgr < /PGN0105.TXT / PGN >

4 4 4