地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法

**解析：**在讲《世界地理》下册的“世界的交通和联系”一节时，课文中有这样一段：“越过北冰洋的航空线是联系亚、欧和北美三大洲的捷径。从东京到伦敦，沿北极圈飞行，比经过莫斯科能缩短 1100 公里。现在从东京到西欧和美国已开辟有穿过北极上空的航线”。当讲到此时，学生们便常问： 为什么沿纬线飞行反而要远些？第八章“南极洲”讲到交通位置的重要性时， 也常提到同样的问题。对这个问题我们知道，地球上的两点的最近距离应是这两点的大圆弧，而除赤道以外的其它任何同在一条纬线上的两点，它们的纬线并不是经过这两点的大圆弧，所以要远些。那么地球上任意两点间的最短距离（大圆弧）又怎样计算呢？

对上面这一问题，可通过用几何和三角作一个简单的推导，如下：

设地球上有任意的A和B两点，A点的纬度是ϕ1，经度是δ 1，B点的纬度是ϕ2 ，经度是δ 2 。又设A点所在的经线和纬线与B点所在的纬线和经线分别相交于 A′和 B′（如图 1-12）。分别用直线连接这四点成四条弦，这四条弦构成了一个等腰梯形 AB′BA′，即两腰 AA′=BB′。

然后以这梯形的两腰分别作底边，以地心 O 点作顶点，又可做出两个等腰三角形，△BOB′和△AOA′。而这两个三角形的顶角：∠BOB′=∠AOAc

′ = ϕ1 - ϕ2 。

可用平面三角法，求出梯形的两腰：

AA′ = BB′ = 2R sin ϕ1 − ϕ 2 ①

2

又设图中 r1 和 r2 分别为 B 和 A 的自转半径

则r1 = Rcosϕ2 ②

r2 = Rcosϕ1 ③

而△AO2B′和△A′O1B 又是以δ2-δ1 为顶角的等腰三角形，通过平面三角法又可求得梯形的上下两底长：

A′B = 2r1sin δ2 − δ1

2

AB′ = 2r2sin δ2 − δ1

2

将②③或分别代入上两式即得：

A′B = 2Rcosϕ 2

sin δ 2 − δ1 ④

2

AB′ = 2Rcosϕ sin δ2 δ1 ⑤

1 2

在求出等腰梯形四边的长度后，再计算其对角线 AB（弦）的长度。

通过图中所引的辅助线后，可算出：

BC = A′B + AB′ ⑥

2

A′C = A′B − AB′ ⑦

2

在直角三角形 ACA′中： AC²=AA′²-A′C²

⑦代入即得：AC² = AA′ ² − ( A′B − AB′ ) ² ⑧

2

在直角三角形 ACB 中： AB²=AC²+BC²

将⑥、⑧式代入上式：

AB2 = AA′ 2 − ( A′B − AB′) + ( A′B + AB′) 2

2 2

即：AB²=AA′²+AB′·A′B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑨

看图（1-12），若再设 AB 弦对应地心○点的圆心角为θ，则△AOB 又是以地球半径 R 为两腰的等腰三角形：

其AB = 2Rsin θ

2

将此式和前面的①④⑤代入⑨式：

则：(2R sin θ) ² = (2R sin ϕ1ϕ2 ) ² + 2R sin δ 2δ1 cosϕ ·2R sin δ2 δ1 cos ϕ



即 : sin² θ

2

= sin ² ϕ1ϕ2

2

+ sin² δ2 − δ1 cos ϕ

2 2 2 1

cos ϕ ⑩

2 2 2 ^{1 2}

由上面公式即可求得地球上任意两点分别与地心连线的夹角θ，只要求出θ，就可求出过这两点间最大圆弧长，也就是这两点最近距离 S。

2πR

即： S = 360° ·θ

最后必须指出：该公式是考虑地球是正圆球时推导的。另外，在运用公式⑩时，纬度ϕ和经度δ 本身带有正负号。通常取北纬为正，南纬为负，东经为正，西经为负。