航空航海线遵循大圆弧线的数学证明

解析： 在地图上，航空线和大洋上的航线都是尽量遵循地球上大圆弧线。地球表面两点间距离，是指经过这两点间所有线中最短的一条线。这最短的线就是经过这两点的大圆劣弧长。

关于这一命题，地理课本和数学课本虽都作为定义但没有给予证明，本文试图对这一问题给出一个简单的证明，以帮助地理教师和感兴趣的学生增加理解。

如图：设 A、B 为球面两点，圆 O 是过 A、B 两点的大圆，圆 O′是过 A、B 两点的任一小圆，大圆半径为 R，小圆半径为 r，则：R＞r。∠AOB=2β；

∠AO′B=2α，显然α、β均为锐角。

则大圆上过 A、B 两点的劣孤长：R·2β 小圆上过 A、B 两点的劣弧长：r·2α

因此，如果 R·β＜r·α，由于 r·2α是过 A、B 两点任一个小圆的劣弧，则就证明了本命题。

欲证：R·β＜r·α，只须证：β＜

由于 AB=2R·sinβ，AB=2r·Sinα

∴ sinβ = r sin α.

r ·α即可

当 x 是锐角时，sinx 是增函数，因此：

如果：sinβ＜sin r

α成立，则：β＜

r α。

因此只须证明：

r sinα＜sin r

α成立即可。

R R

由微积分初步知识可以得到：

当：y = sin m -

m sinx时有

y′ = 1 cos x − 1 cos x

m m m

当 0＜x＜ π 时，且m＞1时， x ＜x，且cosx是减函数，则由cos x

2 m m

＞cosx 得到：y′＞0 从而得到：

x y = sin m

- m sinx是增函数。

∵R＞r， r

＜1，α是锐角。

即：y = sin r

α－ R

sinα是增函数，

且α = 0时，y = 0，∴y＞0

故sin r

α＞ R

sina

从而证得结论。