例说几何法在二次根式问题中的应用湖南省永州市逸夫中学 蒋连明

一般地说来，含有二次根式的问题，运算量都比较大，如果我们能灵活运用几何中的结论和方法，就能使某些问题直观、形象，解法灵活、简捷。本文仅以几例说明之，恳请同行指教。

例1 解不等式

5 − 4x − x² ≥x．（1991年三南高考试题）

分析 给出的参考答案是将 x 分为：x≥0 及 x＜0 两种情况来解的。

事实上，若设y = 5- 4x - x² 及y = x借助于图象及解方程，求得交点坐标为x =

14 − 2

2

．则可直接得解—5≤x≤

14 − 2

2

，而不需分类。

例 2 解方程：

+

= 4．

分析 可将原方程变形为

（x + 1 ） ² + （

2

3 ） ² +

2

= 4．设

F （1− 1 ， 3 ）、F 1

3 ），则问题可转化为在x轴上求一点P（x，0），

¹ 2 2

₂（ 2 ， 2

使得|PE1 |+|PE2 |= 4．根据椭圆的定义，这样的点应在以（0，

F1、F2 为焦点的椭圆上，因此得椭圆的标准方程为：

3 ）为中心，

2

x （y −

+

3 ） 2

2 =

4 15 / 4 1

令y = 0，则x² = 16 ，∴x = 4 5．

5 5

通过检验知原方程的解为：

x = - 4 5，x = 4 5．

1 5 2 5

例 3 x，y，z 均为正实数，求证：

+ x² + xz + z² ＞

分析 这是关于 z，y，z 的无理不等式，如果使用两边平方的办法来证明显然比较复杂，由于 x，y，z∈R+，x2+xy+ y2=x2+y2-2xycos120°，联想到三角形的轱边关系，于是构造三棱锥 O—ABC（如图二），使 OA=x，OB=y，OC=z，

∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，

则有

AB = x² + xy + y ² ，

BC = y² + yz + z² ，

CA = x² + xz + x - z ² ，

由 AB+CA＞BC 可得求证的结论． 例 4 求下列函数的值域：

（1）y1＝ +

（2）y2＝ -

分析和例2一样，先将上两式右边化为：

。然后

5[ （x +2）² +9± （x − 4）² + 25]

令 t1 = t 2 ＝

则 t1 是点 P（x，0）到两点 A（-2，3）与 B（4，-5）的距离和，

（如图三），又limt 1 = +∞，且t lmin =|AB|= 10，于是有10 5≤y1 + ＜＋∞．

t2 得点 P（x，0）到点 A（-2，3）与点 B′（4，5）的距离差（如图四）， 当 P（x，0）是射线 B′A 与 x 轴的交点（-11，0）时，t2min=-|AB

′|= -2 10．由三角形三边的关系知当x＜ - 11时t 2 ＜0，且t 2 是减函数，

当x＞ -11时t2是增函数，且limt 2 =

12x - 28

= 12 =

2

6．（*）（*的几何意义是当 x→∞时，P 点趋向无穷

远点，两射线 AP∥B′P∥x轴），因此有 - 10 2≤y2 ＜6．

像这个方面的例子我们可以举出很多，但限于篇幅，本文不赘述了。