一个三角形面积公式的推广及其应用新疆霍城县六十四团中学 梁大文

三角形的面积 = 底×高÷2，即： 1 在小学就出现了。初中教材里

S△ = 2 ah

又有等底等高的三角形面积相等这一推论。笔者在近几年辅导学生参加数学竞赛过程中发现等底（或等高）的三角形面积也有一定关系。

图一，D 为△ABC 的 BC 边之中点，由于 A 点到 BC 的距离唯一，可知： S△ABD＝S△ADC．

图二，△ABC 中，若 BD：DC=m：n，S△ABD：S△ADC=？过 A 点

作AH⊥ BC，垂足为H．∵S = 1 BD·AH，S = 1 DC·AH，

S 1 BD·AH

△ABD 2

△ADC 2

∴ △ABD = 2 = BD = m ．

S△ADC

1. DC n

2. DC·AH

推广 1：等高的三角形面积之比等于对应底边之比。

图三、△ABC 中，DE⊥BC，AF⊥BC，垂足分别为 E、F．若 DE：

S 1 BC·DE

AF = m： n，S

：S = ？ △BDC = 2 =

DF = m ．

△BDC

△ABC

S△ABC

1. AF n

2. BC·AF

推广 2：等底的三角形面积之比等于对应高的比。这两个结论用处不小。第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第 1 试 A 组填空题 4。如图四，

△ABC 的面积是 1cm2，DC=2BD，AE=3ED，则△ACE 的面积是 。

分析：由DC = 2BD，S

：S = 2：1，所以S = 2

×1 = 2 ，

△ADC

△ABC

△ADC

1 + 2 3

又AE = 3ED，S

：S = 3：1，则 S

＝ 3 × 3 = 1 ．

1

∴填 2 ．

△AEC

△CDE

△AEC

3 + 1 2 2

同一试题三、B 组 5。如图五某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线

AC、BD 分为四个部分。△AOB 的面积是一平方千米，△BOC 的面积是 2 平方千米，△DOC 的面积是 3 平方千米，公园陆地总面积是 6.92 平方千米，那么人工湖的面积是平方千米。

分析： S△ABO：S△BOC=AO：OC=1：2，S△AOD：S△ODC=AO：

OC＝1：2，∵S

△COD

＝3，∴S

3

△AOD ＝ 2 ．

人工湖的面积= 总面积- 陆地面积= （1+2 +3+ 3 ）- 6.92 = 0.58（平方千米）。

2

第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试 18 题如图六，ABCD 是平行四边形，E 在 AC 上，AE=2EC，F 在 AB 上，BF=2AF，如果△BEF 的面积是 2

（cm）2，则 ABCD 的面积是 。

分析：BE：AF=2：1，S△BEF：S△EFA=2：1，∵S△BEF=2，∴S△EFA=1，S△ABE=3，由 AE：EC=2：1，得 S△ABE：S△BEC＝2：1，

3

∴S△BEC ＝ 2 ．

S = 2S = 2（1 + 2 + 3 ） = 9．∴填9．

ABCD

△ABC 2

类似推广 1、2 可得推广 3：等高的平行四边形面积的比等于对应底的比。推广 4：等底的平行四边形面积的比等于对应高的比。

第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试试题：如图七、两条线段AB、CD 将大长方形分成四个小长方形，其中 S1 的面积是 8，S2 的面积为 6， S3 的面积是 5，则阴影三角形的面积是 。

分析：长方形 AOCE 与 OBFC 等高，则 S1：S2=AO：OB=8：6=4：3．

同理：SAHDO：S3=AO：OB=4：3

∵S ＝5，∴S = 20 ．

1. AHDO

则S 1

3

= 1 × 20 = 10 ．∴填 10 ．

阴影三角形

= 2 SAHDO 2 3 3 3

上述四道竞赛题还有其它解法，但是利用三角形面积公式 1 的推

S = 2 ah

广 1、2、3、4 解之适合初中学生的水平，简单、明了，便于学生掌握。因此， 可以将：等高（或等底）的三角形面积之比等于对应底边（或对应高）的比； 等高（或等底）的平行四边形面积之比等于对应底（或对应高）的比

作为三角形面积公式 1 推论。让初中学生掌握、应用。从而达到提高

S = 2 ah

学生能力的目的，为从应试教育转变为素质教育贡献力量。