探索问题非常规解法 培养学生的创新能力安徽省太湖县岔路中学 张晶源

为适应我们所处的改革开放时代的要求，培养具有改革开放精神的人， 学校教育教学理当贯彻改革开放原则，具体对于数学教学来说，培养学生破旧创新能力是十分必要的，其实，这也是数学教学的任务和目的之一。

怎样培养学生的破旧创新能力呢？我认为：在解题教学中，引导学生探索非常规解法是个好办法。下面举例谈谈我在这方面是怎样做的：

例1，解方程x + = 5．

常规的解法，即将原方程移项后平方。正确解题之后，我引导学生仔细地观察，发现将方程右边的 5 移至左边，则左边根号内外的式子相同，进而

将原方程变形为 = -（x - 5）．接着让学生明白变形方程的意义是：

x-5 的算术平方根是它的相反数。进而问学生：什么数的算术平方根是它的相反数？学生想到“只有 0 的算术平方根是它的相反数”后，自然有 x-5=0， 从而得原方程的解 x=5。

例 2，求证方程（a2+1）x2-2ax+（a2+4）=0 没有实数解．常规的方法即证△＜0，正确证明了此题之后，我引导学生观察到方程的左边展开后可化成几个式子的平方和，于是将原方程整理成 a2x2+（x-a）2+4=0．接着问学生： 非负数有些什么性质？学生想到“几个非负数的和不会小于零”后，自然有； a2x2+（x-a）2+4=0 不成立，从而得到“原方程没有实数解”的结论。

显见，以上二例的新颖解法，是通过对原题结构和形式的观察，找出其特征，并由此联想到已有的某些知识而萌生的。

例3，解方程

4x − 1.5 −

0.5

5x − 0.8

0.2

= 1.2 − x ．

0.1

在学生用常规方法，即先将分母化为整数后去分母，正确解题之后，我引导学生观察方程中分母三数的特征，得原题最简公分母是 1，于是问学生： 在解题过程中，将分母化为整数和去分母，哪是解题的关键？在学生答出是去分母后，让学生直接去分母解此题： 8x-3-（25x-4）=12-10x，-7x=11，

x = - 11 ．

7

例 4，在 ABCD 中，AB=2，BC=1，求 AC2+BD2．在学生用常规方法，即用余弦定理，正确解题之后，我引导学生观察到所求之结果与 AB、BC（或 AB、AD）的夹角的大小无关，于是将 ABCD“扭正”为矩形 ABCD（如图）。

接着学生用勾股定理很快求出了所要求之值：AC2+BD2=2AC2=2（AB2+BC2）

=2（22+12）=10．

容易知道，以上二例的简捷解法，是通过对原题的结构形式和用常规法解题过程的观察，抓住解决问题的本质性的东西而萌生的。

例5，已知m 1

3m² + 4m - 1 = 0， 3 + 4 - 1 = 0，求n + 1 的值。

≠ n ，

n² n m

在学生用常规方法，即直接求出 m 和 n 的值，正确解题之后，我引导学生比较已知的两上方程，察觉二者结构基本相同，于是根据方程的根的定义，

构造方程3x² + 4x - 1 = 0，并指出可把m 1

和n 视为构造方程的两个根。接着学生

由韦达定理得：

1 4 m 1

1 1 1

m+ 1 - 4

n 3

m+ n = - 3 ， n = − 3 ，进而得：n + m = 1 + m =

n

m = 1 = 4．

n - 3

例 6，已知△ABC 三边之长为 a、b、c，∠A=135°，∠B=15°，求 a：b：

c．

在学生用常规解法，即用正弦、余弦定理和解方程等知识，正确解题之后，我引导学生从已知推得∠C=30°，又从欲证结论 a：b：c，想到含 30° 角的直角三角形的三边比值，于是构造 Rt△BCD

（如图）。接着学生看出：∠DBA = ∠BAD = 45°，

1 ，tgC = BD =



1a

2 = ，∴a：b = 2：（ 1a+b

2

AD = BD = 2 a

2

3-1），又有c = 2 a，从而得a：b：c =2：（

BC

3-1）： 2．

不难看出，以上二例构造解法，是通过观察原题的条件和结论，并联想已有的有关知识，构造出理想形式而萌生的。

综上所述，在熟练掌握常规解题方法的基础上，只要引导学生仔细观察题目结构形式或常规解题过程，认识其特征或解题的本质性的东西，并联想已学知识（定义、定理、图形性质等），往往能萌生问题的非常规解法，巧妙地解决问题。从而，对培养学生的创新能力大有作用。