公理 1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（图 1—1）。

这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线。

例如，把一根直尺边缘上的任意两点放在平的桌面上，可以看到直尺边缘就落在桌面上，这就是应用公理 1 判定直线是否在平面内。

又如，木工用直尺边检查所刨的木板平不平及泥水工人用木条的直边刮平地面，这就是应用公理 1 检查一个面平不平。

关于公理 1 可以使用集合的符号把它简明准确地表达出来。只把点作基本元素，于是直线、平面都可看作“点的集合”。规定用大写拉丁字母 A，B， P 等表示点；用小写拉丁字母 a，b，l 等表示直线；用小写希腊字母αβγ 等表示平面。如点 A 在直线 a 上，记作 A∈a；点 A 在直线 a 外，记

作A ∉a；点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作A ∉α；直线a在平面α内，即a是α的子集，记作a ⊂ α；直线a 不在平面α内，记作a ⊄ α。

公理 1 的集合形式表示为：若 A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 aα。

公理 1 的图形表示如图 1—1 所示、图 1—2、图 1—3 是学生初学时常会画错的图形，应提醒学生注意其错误的原因。

用一块木板（设它代表一个平面），使它与桌面（也代表一个平面）有一个公共点，请学生回答“这两个平面是否还有其他公共点？公共点有多少？”提醒学生注意平面有无限延展的特性。回答后，请学生观察教室内相邻的墙面，在墙角处交于一个点，它们就交于过这个点的一条直线。由此归纳出公理 2 内容。

公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（图 1—4）。

公理 2 中“有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。

如果两个平面α和β有一条公共直线 a，就是说平面α和β相交，交线

是 a，则可记作α∩β=a。因此公理 2 可表示成如下形式：若 A∈α，A∈β，则α∩β=a，且 A∈a。

由公理 2 可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点。

一扇门用两个交链和一把锁就可以固定了；测量上用的平板仪用三脚架就可固定了。从实例可归纳出公理 3 的内容。

公理 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图 1—5）。过 A，B，C 三点的平面又可记作“平面 ABC”。

下面我们来讨论一个问题：过空间一点、两点、三点、四点、可以有多少个平面？（请学生回答）

过一点、两点、在同一直线上的三点或四点都可以有无数个平面；过不在一直线上的三点有且只有一个平面；一般情况下，过四点不一定有平面，如图 1—6 所示的教具，不存在一个平面过 A，B，C，D 四点。

根据上述公理，可以得出下面的推论：

推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图 1— 7）。

要证空间的点、直线共面，由证法一可知，可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它元素也在此平面内。这种方法称为纳入平面法。由证法二可知，可以先由某些元素确定一个平面，为证其它元素也在此平面内，再作一个通过其它元素的辅助平面，推证辅助平面与前一平面重合，从而证得所有元素共面。这种方法称为辅助平面法。