二、新课

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

已知：PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是 PO 在平面α上的射影。a⊂α，a⊥PO（图 1—62）。

求证：a⊥AO。

由老师写出已知、求证，证明请学生上黑板板演。最后老师讲评。

要注意三垂线定理及其逆定理的区别，三垂线定理是先有 a 垂直于射影

AO 的条件，然后得出 a 垂直子斜线 PO 的结论；而其逆定理则是已知 a 垂直于斜线 PO，再推出 a 垂于射影 AO，在运用时应注意不要混淆。简单地讲前者是“垂直射影垂直斜线”。后者是“垂直斜线垂直射影”。

现在，我们利用三垂线定理及其逆定理来证明有关两条直线垂直的问题。

例 1 已知：PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，PO⊥平面 ABC，垂足为 O（图 1

—63）。

求证：AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB。

分析：因为 PA 是平面 ABC 的斜线，AO 是 PA 在平面 ABC 内的射影，BC 是平面 ABC 内的一条直线。

所以要证 AO⊥BC，由三垂线定理的逆定理可知，只要证 PA⊥BC。

而让 PA⊥BC，不仿去证 PA⊥平面 PBC，由直线和平面垂直的判定定理可知，只要证 PA⊥PB，PA⊥PC 即可。

PA⊥PB，PA⊥PC 是已知条件。下面用综合法写出证明。

下面我们研究利用三垂线定理及其逆定理求点到直线的距离。什么是点到直线的距离呢？

过这一点向直线引垂线跟直线相交，点到垂足之间的距离，就是这点到直线的距离。

例 2 道旁有一条河，彼岸有电塔 AB，高 15m。只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？

分析：如图 1—64，要求点 A 到 CD 的距离，就是在空间的一个平面 ACD 内，作一条垂线 AC 垂直于 CD，垂足为 C，这是比较困难的问题。为了解决这个问题，我们如能找出垂足 C 在 CD 上的位置，问题就迎刃而解了。

如果我们在道边取一点 C，使 BC 与道边所成的水平角等于 90°。由三垂线定理可知 AC⊥CD，AC 就是电塔顶与道路的距离。再使水平角 CDB 等子 45

°。测得 C、D 的距离，然后解直角三角形 ABC 即可求得 AC 的长。

解：如图 1—64，在道边取一点 C，使 BC 与道边所成的水平角等于 90°。再在道边取一点 D，使水平角 CDB 等于 45°。测得 C、D 的距离等于 20m。

∵BC 是 AC 的射影，且 CD⊥BC，

∴CD⊥AC。

因此斜线 AC 的长度就是电塔顶与道路的距离。

∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m，

∴BC=20m。

∵AB=15m，由直角三角形 ABC：

AC = = = 25(m) （m）。

答：电塔顶与道路的距离是 25 米。