点到直线距离公式整体教案设计

整体观念对数学思维过程起着重要的指导作用。在中学数学教学中，怎样才能卓有成效地培养学生的整体观点，增强整体意识，很值得探讨。所谓整体观念，就是从整体的效益来考虑问题，在解题中，把解题过程看作一个整体，认真分析每一个步骤对解题所起的作用，考虑这个步骤是否必不可少，能否为其他方法所取代，力求整体地解决问题，找到最优解法，最终实现解题目标。

点到直线距离公式是解析几何中的一个重要公式，这不仅是其有广泛的应用，而更重要的是公式推导过程中蕴含着重要的数学思想。因而，在设计这节课的教学方案时，要力求暴露公式推导中的思维过程，突出整体观念对思维过程的指导作用。下面谈谈点到直线距离公式推导这节课的教学设计。问题：已知点 P（xo，yo）和直线 l：Ax+By+C=0（其中 A、B 不同时为零），

求点 P 到直线 l 的距离 d，如图（1）。

先从以下几个问题出发：什么叫做点到直线的距离？如何作出点 P 到直线 l 的距离？从而作图步骤/公式推导步骤

过点 P 作直线 l＇⊥l/1.写出 l＇的方程
得 l＇与 l 的交点 Q/2.解出 l＇与 l 交点 Q 的坐标
线段 PQ 的长即为所求/3.用两点间距离公式求出|PQ| 即得推导方案 1：

已知→l＇的方程→点 Q 的坐标|PQ|即 d

课本介绍了上面的推导方法，并作出了“思路自然，但运算繁杂”的简短评价。这是因为在这种推导方法中，需先求出有关曲线（直线 PQ）的方程、点（Q 点）的坐标。为能找到一种切实可行而更巧妙和更简捷的推导方案，我们不妨先考虑特例，即当点 P 在 y 轴上时，求点 P 到直线 l 的距离，如图

引导学生易得推导方案 2：

本方案采用的方法是，找一个直角三角形，确定一个已知角和一条斜边，使所求距离的线段为三角形的一直角边。

特殊问题的解决，对解决一般性问题有所启示：找一条直线作为斜边，构造一个直角三角形。要构造一个直角三角形，只要找一条斜边即可，也就是只要求作过 P 点的一条直线 l1 与 l 相交即可。这样，只要作一条平行于 y 轴（或 x 轴）的直线 l1，如图（3），其方程简单，便于求它与 l 的交点坐标，而且构成直角三角形的内角容易求出，从而可求出直角边|PQ|，一般性问题得到解决。

这样设计教学使学生弄清了作辅助线的道理。若把分析深入一步还可以得到更简便的解法。

（管兴明）