一、应用三角公式化复数为三角式

解法一（分析：因为复数 z1、z2 分别对应复平面上的点 A，B 所以∠AOB 可以用 argz1 与 argz2 的差来表示。关键是把 z2 化为三角式并且判断 argz1 与 argz2 的大小。）

∵z = cosθ + isinθ，（0≤θ＜π，θ≠ π ） ①

1 2

∴z2=z1i+1=（cosθ+isinθ）i+1

 π   π 

= 1 - sinθ + icosθ = 1 + cos 2 + θ + i sin 2 + θ

 π θ    π θ 

 π θ 

= 2cos 4 + 2  cos 4 +

2  + i sin 4 + 2   ②

π π π θ π

 π θ 

1°，0≤θ＜

2 时，

4 ≤ 4 +

2 ＜ 2

，cos +

 4

2 ＞0，这

时，②式是z

的三角形式，argz = π + θ ，并且argz ＞argz ，

2 2 4 2 2 1

∴α = argz - argz = π + θ - θ = π − θ 。

^{2 1} 4 2 4 2

2°，当 π ＜θ＜π时， π ＜ π + θ ＜ 3π ，cos（ π + θ ）＜0

2 2 4 2 4 4 2

0，

这种用复数的辐角主值的差来确定夹角α的方法，思路清晰，但是将 z2

化为三角形式是解答本题的前提；合理地分0≤θ＜ π 与 π ＜θ＜π两

2 2

个区间，判断cos（ π + θ ）的值的符号则是关键。因此，只有熟练地应

4 2

用三角变换公式，记住复数三角式的特点，并且善于讨论参数的范围，才能正确作出解答。