五、应用两条直线的夹角公式

解法五：（分析：因 OA，OB 的方向可以用直线 OA，OB 的斜率表示，所以∠AOB 就可以用两条直线的夹角公式求解。）

∵z1=cosθ+isinθ，（0≤θ＜π，θ≠π/2），与 z2=z1i+1=1-sinθ

+icosθ分别对应复平面上的点 A 与 B。

sin θ cosθ

∴kOA

= cos θ = tgθ; k OB = 1− sin θ

cosθ − tgθ

∴tgα =

k OB − kOA

1 + k OB ⋅ k OA

= 1 − sinθ

1 + cosθ ⋅ tgθ 1 − sinθ

 π 

1 − cos − θ

= 1 − sinθ =

cos θ

 2 

 π 

=  π θ 

sin

 2

• θ



tg 4 −

2 

1°，当0≤θ＜ π 时，0＜ π − θ ≤ π , ∴α = π − θ 。

2 4 2 4 4 2

当 π ＜θ＜π时， − π ＜ π − θ ＜0，由0≤α＜π，∴α = π

2 4 4 2 4

− θ + π = 5π − θ  3π ＜ 5π − θ ＜π.

 

2 2  4 4 2 

这种解法，以平面解析几何中两条直线的夹角公式为基础，以三角变换为工具，脉络清楚，把复数、三角、解析几何的知识有机地结合起来，得到很好的效果。

从以上的五个方面，可以看出，对于复数的模与辐角的主值范围的复习教学，单凭定义上的理解是不够的。若将其与三角、解析几何等有关知识联系起来，综合运用其内涵与外延，那么，学生对于复数的模与辐角主值概念的理解与应用将达到了一个新的境界。这样对于拓宽学生的解题思路，提高其分析问题与解决问题的能力都将起到积极的作用。