布置作业：

（王人伟） [评：本设计指导思想明确，数学思想突出，教学效果很好，是一堂成功

的设计。

为什么在数学教学中要重视数学思想呢？

数学思想是相应数学概念和数学方法的本质认识和精神实质。

我们知道，数学思想产生于数学问题，但光有数学思想并不能解决问题，

还需要根据数学思想产生出有利于解决问题的相应的数学方法，所以，数学方法是数学思想和数学问题的中介，数学思想和数学方法又常常以一定数学概念的形式表现出来。这样看来，数学概念、数学方法都体现出相应的数学思想。数学概念和数学方法都是外显的，而数学思想则是内隐的，是蕴含在数学概念和数学方法里的。所以，我们说数学概念和数学方法是数学思想的载体，我们在教学中就要善于透过数学概念和数学方法，去挖掘相应的数学思想，并以它来统帅全局。

虽然在解析几何课本里，呈现在大家眼前的都是些概念和方法，但整本书无不渗透数、形对应的思想、数形结合的思想和运动变化的思想。我们在每节课里都要努力去体现这些思想，这样才能更好地把握概念和方法。我们从这节课的整体构思与细节安排来看，王老师是有意识地去突出这些思想的，这就为这节课的成功奠定了基础。

数学思想内化就成了数学观念。

所谓数学观念，通俗一点讲，就是数学头脑和数学意识，或者说是数学的习惯，它是由数学思想内化来的。数学观念作为数学思维的高级层次，它对数学思维活动有着一种定向、控制和调节的监控功能。

在解析几何里，我们应该树立这样的观念：解析几何给数学提供了一个双向的工具：几何概念可以用代数表示；几何的目标可以通过代数来达到。反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握这些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。

王老师在介绍里提到的学生的一些情况：学生仅习惯于用解析法得出结论；相信用简捷、直观的几何法，而对代数法不太重视等，这些都是没有树立起解析几何的上述的观念所致。

这节课王老师比较注意针对学生情况树立上述观念的。例如，求直线与抛物线的位置关系可以用代数方法。再如，对于练习 4：“直线 y=（a+1）x-1 与曲线 y2=ax 恰有一个公共点”通过代数法解出的 a 的三种情况，给予几何的解释，可以直观地掌握这些语言的意义。又如，可从几何图形上得出结论

（如练习 2：“讨论直线 x=a 与抛物线 y2=2x 的交点个数”）或提出新问题

（如练习 3：“若直线 l：y-1=a（x-2）与抛物线 c：y2=2x 有两个公共点，则 a 在什么范围取值？”中，a=0 的情况）。这些思想成了学生头脑中的东西后，就可起着对思维进行定向、调控的作用。

数学思想对数学方法起调控作用。

作为数学方法来说，都是与特定的情境联系在一起的。例如求一直线与二次曲线的交点，无非是联立方程——消元——讨论△，即所谓的△法。如果方法不以相应的数学思想作指导，那么这种方法就会变成一种机械的操作，一种固有的模式，而当情境稍作变化，往往会束手无策。例如抛物线对称轴，或与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点是无法用△来解释的。这一点王老师是注意到了，在设计的例题中要克服学生这种固有模式（如讲新课的例题：“直线 l：y=a（x+1）与抛物线 c：y2=4x 的公共点个数”中 a=0，练习 3 中 a=0；练习 4 中 a=-1 等都是这种情况）。

相反，用数学思想指导的数学方法，往往可以超脱这个特定的情境，或者变化模式适应情景，或者变换情景以适应模式，这就表现出一种思维的灵活性，而在这里起调控作用的，正是数学思想。在当前的数学教学中，为什么题练得很多，但有时效果不佳，恐怕没有重视教学思想是其中的原因之一。

这节课的教学目的里，提出要提高学生的数形结合的能力。那么在这节课里，数形结合的含义到底是什么？我个人认为是：“数形取长补短，互相为用”。

笛卡儿在创立解析几何时，看到了“形”与“数”各自的优缺点。“形” 具有直观性，它们的位置关系和变化趋势。容易呈现在人们的眼前，但欧氏几何中的每一证明，总是要求某种新的，往往是奇巧的想法。而代数具有一般性（即可以提供“通法”）；它的计算方法带有程序化的特点，并且可以把解题工作量减少。其缺点完全受法则和公式的控制，容易阻碍思想的发展。因此，他主张应当采取代数与几何中一切最好的东西，互相取长补短。

从这节课的具体实施来看，比较好地贯彻了这个含义下的数形结合思想。具体表现在：

从形的方面看：

图形画得正确与否，例如抛物线的开口大些、小一些将会影响“依形判数”的准确性。由于这节课所给的抛物线都是过原点的，这样，我们再取除原点外的两个对称点，由这三点大致可控制抛物线的形状。这一点王老师在教学中指出来了，这很好。
就以讲新课的例题来说，由图形来判断它们的位置关系，这里 a 是直线 l 的斜率，又是个参数，而 l 又过（-1，0）点。这样，a 变化意味着 l 绕

（-1，0）点旋转，在旋转过程中看 l 与 c 的位置关系。这样讲是很好的，因为图形比较直观，在运动变化过程中容易把握，发挥了图形的特点。由于切线是一种极限状态，所以它可以起到界限的作用，若 l 按逆时针方向旋转，旋转过程中 l 没经过切线与经过切线，l 与 c 的交点情况就不同。但是，相切的情况很难从图形中观察出来，这就要借助于代数了，这一点王老师在讲课中指出来了。

如果这道题最后把代数的情况与几何的情况对照一下就更好了。

我们由代数知：-1＜a＜1，l 与 c 有两个交点；a=±1 时，l 与 c 相切； a＜-1 或 a＞1 时，l 与 c 无交点；a=0 时，l 为抛物线的对称轴，与抛物线只有一个交点，用上图表示。再用几何方法，使 l 绕（-1，0）按逆时针方向旋转，两者互相印证就更精彩了。

再以练习 4 来说，由于在直线与抛物线方程中都有参数 a，若按几何讨论，情况就比较复杂了，因对于 a 来说，要分情况讨论，然后分别画图观察，最后总结，相当繁琐。这样还不如借助于一般的代数，似乎问题更容易进展一些。王老师正是用这道题作为就数论形的典型。

由上看来，形方面的不足，由数的优点来弥补。再从数方面来看：

有的题直接从图形就可观察出结果，如练习 2。由于 x=a 是平行于 y 轴的一条直线，a 变动，直线就平行于 y 轴移动，而抛物线是固定的（过原点开口向右），这样直线与抛的线物交点情况就会一目了然了。

又如练习 3，用△法相当繁琐（解题过程中要用两次三项和的平方公式），但从图形上可以看出一些眉目。由于 l 过（2，1）点，而此点是在抛物线内部，于是过（2，1）点所有直线中，除去与抛物线对称轴平行的直线以外，都与抛物线相交于两点。由观察知，当 a=0 时，直线 l 是过（2，1）且与抛物线对称轴平行的直线，它与抛物线有一个交点。除此之外，a 的其它情况都有两个交点，于是可以得到题目所要求的答案：a∈（-∞，0）∪（0，

+∞）。

△法确实是判断直线与抛物线交点情况的一般通法，但有些情况它不能包括。如练习 3，仅从△法考虑，求出 a 为任意实数，并不能剔除 a=0 的情况。再如讲新课的那道题，只用△法是求不出 a=0 的情况，但这些情况都在几何图形中显现出来了。所以，几何有时可以弥补代数方法的不足，或者说可以提醒你某些特殊的情况。
有时用代数方法可以求出其解，但不知其几何意义是什么。为加深理解和检验，用代数方法解出后，再从几何的角度看一看是有好处的。如练习4，求出 a=0，-1，后，虽然取这些值时，直线与抛物线恰有一个交点，但它们的位置情况是不同的。

当 a=0 时，抛物线 y2=ax 退化为 y=0，即 x 轴，而此时直线为 y=x-1，它们恰有一个交点，相交于（1，0）。

当 a=-1 时，抛物线为 y2=-x，直线为 y=-1，这条直线与抛物线的对称轴平行，这时它们恰有一个交点，交点为（-1，-1）。

当a = - 4 时，抛物线为 ² 4 ，直线为 1 ，这时，

5 y = - 5 X y = 5 X - 1

它们相切于（-5，-2）。

由此可见，尽管直线与抛物线恰有一个交点，但情况却是如此之不同。这不用几何来印证，恐怕学生是很难想到这些的。

由上看来，数的方面的不足可以由形的优点来弥补。

数形结合的具体含意是：“取长补短，互相为用。”王老师正是按这种情况安排课的，例题就选择得很有针对性，从课堂情况看，总的说教学设想贯彻得很好，教学目的是达到的，所以这堂课应该说是一堂成功的课。大家可以设想一下，如果忽视这些数学思想，干巴巴地给学生讲几道例题，学生固然也可以学会△法，但学生的得益肯定不会比这堂课多，这就是为什么我们要强调在数学教学中重视数学思想的道理。]

（曹才翰）