二、应用复数除法法则

解法二（分析：若 argz2＞argz1，则由复数除法的几何意义可知：

α = arg z2 。）

z1

由解法一中的①式与②式知道：

 π θ   π θ

 π θ

z 2 cos 2 + 2  cos 4 + 2  + i sin 4 + 2  

1 =    

z2 cos θ + i sin θ

=  π θ  π θ

 π θ

2 cos + cos −  + i sin −  ③

 4 2   4 2 

 4 2 

1°，当0≤θ＜ π 时， π ≤ π + θ ＜ π

 π + θ  ＞0

2 4 4 2 2

, cos



4 2 

所以③式是 z2 的三角形式，且0＜ π − θ ≤ π ，

z1 4 2 4

2°，当 π ＜θ＜π时， π ＜ π + θ ＜ 3π

 π + θ ＜0，

2 2 4 2

cos

4 

4 2 

∴ z2 = −

 π + θ 

 5π − θ +

 5π − θ ④

z 2 cos

 cos

 i sin 

₁  4 2  

 4 2 

 4 2 

所以④式是 z2 的三角形式，且 3π ＜ 5π − θ ＜π，

z1 4 4 2

∴α = arg z2

z1

= 5π − θ

4 2

这种由复数的商的辐角主值来确定夹角α的方法，是建立在对于复数相除的几何意义有着深刻理解的基础上的。与解法一相比较，思路要复杂些， 因为两个复数的辐角主值的差是通过两个复数的商的辐角主值来体现的。这

样，对于③式来说，不仅要判断cos（ π + θ ）的值的符号还要分析 π - θ

4 2 4 2

的范围，没有较强的分析能力与扎实的基础知识是容易弄错的。另解：若从 z1/z2 入手，则由于

z1 = cosθ + i sin θ

z2  π θ   π θ   π θ

2 cos +  cos

+  + i sin + 

 2 2  

 4 2   4 2 

= 1   θ π 

 θ π 

cos −  + i sin − 

 π θ    2 4 

 2 4 

2 cos 4 +

2 

1°，当0≤θ＜ π 时，同以前讨论⑤式是 z1 的三角形式。

2 z 2

但是 − π ≤ θ − π ＜0，可知argz ＜argz ，根据复数相除的几

4 2 4 ^{1 2}

何意义，可得α

 θ − π = π − θ 。

= - 

 2 4 4 2

2°，当 π ＜θ＜π时，同以前讨论， z1 = 1

2 z₂ −  π θ

2 cos 4 +

2 

  θ 3π  θ 3π

cos +  + sin +  ⑥

  2 4   2 4 

虽然⑥式是 z1 的三角形式，但是π＜ θ + 3π ＜ 5π ，超出了

z2 2 4 4

0≤α＜π的范围，于是可以把⑥式化为：

z1 = 1   θ 5π

 θ 5π

z cos −  + i sin − 

₂ −  π θ   2 4 

 2 4 

2 cos + 

 4 2 

∵ - π＜ θ − 5π ＜ − 3π ，同上分析有

2 4 4

α = − θ − 5π = 5π − θ

 

 

由以上的两种求商的不同解法可知，只要对复数相除的几何意义以及辐角主值范围有透彻的理解，都能够求出α的大小。同时，通过逆向思维，加深了对复数主值范围的理解，使感性知识上升为理性知识。