运用函数的奇偶性推证

x x

例 7 求证： 2 > 1− 2x （x≠0）。

分析 此不等式变形后与偶函数相关，便联想到构造偶函数。

x x x(2 ^x + 1)

证明 设f（x） = 2 − 1− 2 x

= 2(2^x − 1) 。

则f（ - x） =

- x(2^-x + 1)

2(2 ^-x - 1)

x(2 ^x + 1)

2(2x − 1) = f（x），

f（x）为偶函数。

x

x( ^x +1)

当x＞0时，2

＞1，即f（x） = 2(2x - 1) ＞0；

又当 x＜0 时，有-x＞0，f（x）=f（-x）＞0；

x x

综上恒有f（x）＞O，从而 2 > 1− 2x 。