运用二次函数的性质推证

当不等式含有某字母的二次项时可构造二次函数，利用二次函数的性质推证不等式。

例 1 设 A+B+C=n 且 x、y、z∈R，求证：

x² + y² + z² ≥2xy cos C + 2yz cosB + 2zx cos A。

证明 令F（x） = x² + y² + zy - 2xycosC - 2yzcosB

• 2zxcosA

= x² - 2（ycosC + zcosA）x + y² + z²

• 2yzcosB 。

由 A+B+C=n，可知

cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC。

又△ = 4（ycosC + zcosA） ² - 4（y² + z² - 2yzcosB）

= 4[y² (cos²C - 1) + z ² (cos²A - 1) + 2yzcsAcosC + 2yzcosB]

= -4[y²sin ²C + z²sin² A

• 2yzsinAsinC

= -4(ysinC - zsinA) ² ≤0

∴ F（x）≥0，

即 x² + y ² + z² ≥2xycosC + 2yzcosB + 2zxcosA。

注 高中代数（下册）第 15 页习题 7、8、9、10 均可利用二次函数性质推证。

例 2 设f（x） = lg

1 + 2 ^x +Λ +(n - 1) ^x + n ^xa n

其中 a∈（0，1]，证明 2f（x）＜ f（ 2x），当 x≠0 时成立。

分析 根据不等式构成的特点，可构造二次函数证明。

证明 根据题意，要证 2f（x）＜f（2x），即要证 n≥2 时，有

[1 + 2 ^x + Λ +(n − 1) ^x + n^x a]² < n(1 + 2^{2 x} +Λ +( n − 1) ^2x + n^{2 x}a], a∈(0,1], x≠0。

为此，可构造函数

f（u） = （u - 1） ² + （u - 2^x +[u - （n - 1） ^x ]² + （ u - n^x a）²

= n·u² - 2[1 + 2 ^x + + （n - 1） ^x + n^x a]u + [1² + 2^2x + + （

n - 1） ^2x + n ^2xa ² ]。因为x≠0， u - 1， ，u - n^xa不能同时为零，所以有

f（u）≥0，又 n≥2，故函数 f（u）的图象为开口向上的抛物线，与 x 轴无交点。

所以△＜0，即

△ = 4［1 + 2^x + + （n - 1） ^x + n^x a］2 - 4n［1 + 2^2x + + （n - 1） ^2x

+ n^2xa ² ]＜0，整理，得

[1 + 2^x + + （n - 1） ^x + n^x a]² ＜ n[1+ 2^2x + + （n - 1） ^2x + n^2x a² ]，

又a∈（0，1]，有a ² ＜a，n^2x a ² ≤n^2x a，所以[1 + 2^x + + （n - 1） ^x +

n^x a]² ＜n[1+ 2^2x + + （n - 1） ^2x + n^2xa]。

即 2f（x）＜f（2x），a∈（0，1］，x≠0。