运用函数的单调性推证

例 5 已知：a＞b＞0，求证：

a − b a² − b²

a + b < a² + b²

分析 考查函数

a^x - b ^x

f（x） = ax + b x （ a＞ b＞ 0），

a^x - b ^x 2b^x 2

f（x） = ax + b x = 1 − ax + bx

= 1 − (a / b) ^x + 1 ，

a − b a ² − b ²

为R上的增函数，∴ a + b < a 2 + b2 。

1

例6 求证： 2

3 5

⋅ 4 ⋅ 6 Λ

2n − 1 1

2n ≤ 。

证明 原不等式等价于

1 3 5

2 ⋅ 4 ⋅ 6 Λ

2n − 1 2n

设 f（n） =

1 3 5

2 ⋅ 4 ⋅ 6Λ

2n − 1

2n

现考查它的单调性

f(n + 1)

∵ ( f(n)

) ² =

(2n + 1) ²

(2n + 2)²

⋅ 3n + 4 3n + 1

12n³ + 28n² + 19n + 4

= 12n³ + 28n² + 20n + 4 < 1，

∴{f（n）}是递减数列，有f（n）＜ f（1） = 1 ⋅

2

= 1，即原不等

式成立。