1.  促进学生数学思想方法形成的途径
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1. 多次孕育，适时渗透数学思想方法

学生数学思想方法的形成是一个循序渐进过程，是一个多次孕育适时渗透的过程。渗透就是把某些抽象的数学思想逐渐融进具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知，但还没有从理性上开始认识它们。中学教材内容是由知识与数学思想方法组成的有机整体，其体系是沿知识的纵向展开的，而蕴含在知识中的思想方法是纵横交错，前后联系的，教学中不能急功近利，略去数学知识发生过程，而应把握好进行数学思想方法渗透的契机，如概念的形成过程，问题的被发现的过程，思路的探求过程， 均为渗透数学思想方法的大好时机。教者应有“润物细无声”的境界，在知识生成与发展中让数学思想方法着地、生根、发芽。例如由小学的长方形、平行四边形面积计算到初中的三角形面积计算，再到高中的长方体、三棱锥体积的计算均应孕育与渗透等积变换思想和类比思想。

1. 引进数学思想方法

渗透数学思想方法只是让学生对数学思想方法有初步的理解，而引进数学思想方法，就要求学生知道它的要素与特征和有哪些用途。前面提及的函数与方程的思想、数形结合的思想、化归思想等均需着重引进介绍。由于同一内容可表现为不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，因此，在单元小结或复习时，就应该整理出数学方法系统，例如在两角和与差的三角函数一章结束时，可用两角和的余弦公式，通过化归的方法，把十个公式推导出来。另外，根据数学思想方法的形成过程中的实际情况，适时开设专题讲座，讲清知识的来龙去脉，内涵外延，作用功能等，这也是把数学思想方法化隐为显的有效途径。

1. 通过问题解决，力求突出思想方法的应用

有些基本思想方法，如数形结合、化归、函数与方程等是高层次的指导性的数学思想方法，它贯穿于整个中学阶段，对这些方法应经常地予以强调， 并通过“问题解决”使学生达到灵活运用的层次。层次一是提供含有思想活

动的“问题”（素材），调动学生积极参与，在会解答的情况下，要求能揭示问题中蕴含的思想方法和使用价值，层次二是同一问题应从不同的角度去审视，根据不同的特征，可以用不同的思想方法解决，以强化方法使用背景和手段，达到灵活选择方法，活化、优化方法的目标。

数学问题的解决，实质上是问题不断转化和数学思想反复应用的过程， 数学的思想方法存在于问题解决之中，数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。在教学中，我们还应充分重视开放性问题在培养数学思想方法中的作用，例如在讲了三角函数和差化积之后给出问题：“在半径为 R 圆心角为 60°的扇形铁皮中，截取一个面积最大的矩形”。这一问题的解决需要分类的思想，即考虑矩形有几个顶点在圆弧上；需要函数的思想， 把矩形的面积表示为某个角的函数；需要化归思想，即利用三角函数的变形将三角函数式转化为一个角的三角函数的形式，以有利求函数最值等等。整个问题的解决过程都体现了利用数学工具解决实际问题的数学模型化方法。教师要不断钻研，提炼出反映数学思想方法的问题，通过问题的解决，展现数学思想方法的应用过程，使学生领会数学的本质，领略数学的内在美。由于数学思想方法有浅显与深奥、具体与抽象之分，因此，要在教学中有计划、有系统、有序、有机地促进学生数学思想方法的形成，以完成好这项使学生终生受益的教育工作。

（收稿日期 1999-05-10）

谈 1999 年高考数学应用题给与的启示

黑龙江大庆第十三中学 贾玉文 （邮编：163113）

摘要 去年的高考应用题许多考生和教师都认为难，难在何处？它对我们的教学有何启示？文章就此进行了较深入的剖析。

去年高考应用题（理科 22 题，文 23 题），很多考生认为难做，很多教师也认为此题难，但是，与作为高考的压轴题相比难度又不够，且二者难在不同之处，压轴题难在应用知识点多及知识点的有机结合，需要的能力是多方面的，思想方法也是多样的，只不过这些东西考试前都曾使用过，而应用题难在对它的不熟悉上，许多学生不明白题目的意思，也不会正确地处理应用问题，由此影响了学生的解答。为什么产生这一现象呢？

我想谈一下对此情况的看法，探讨引起难做的原因，以便今后更好地改进数学教学工作。为了说明问题，我首先从这道题的解法谈起。

应用题的内容如下：

右图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（Ⅰ）输入带钢的厚

度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷

轧机至少需要安装多少对轧辊？

“输入该对的带钢厚度”减去从“该对输出的带钢厚度”

(一对轧辊减薄率 =

)

输入该对的带钢厚度

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20％的轧辊，所有轧辊周长均为 1600mm，若第 k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk 。为了便于检修，请计算L1、L2 、L3 并填入下表（轧钢过程中，带钢的宽度不变，且不考虑损耗）。

对于第一问，经过认真的阅读理解后，分析出要由所给的公式作为突破口，构建第一个数学模型，设一对轧辊减薄率为 r，输入该对的带钢厚度为 a， 从该对输出的带钢厚度为 b，把所给的提示公式数学公式化，即为 r=

= a − b ，对公式变形为b = （1- r）a，即这是一个递减率的问题，分析“每a

对轧辊的减薄率不超过r0 ”及题问，可知r是变化的，每对轧辊的减薄率是不同的，经过n对轧辊的减薄，冷轧机输出带钢厚b = （1- r1）（1- r2 ）

（1- rn ）a，这个式子是建立的第二个数学模型。再由“每对轧辊的减薄

率不超过r0 ”可知0＜ri ≤r0 ＜1，i = 1， ，n。由此建立第三个数学模型：

β≥α（1- r ） ⁿ 。通过对数就可以解答第一问。

从这一问的解决过程来看，需要建立若干个数学模型，而模型应由简单到复杂，逐步修改完善，最终达到符合题意。分析上面解决问题的过程，可得出下面几个结论（1）数学建模的过程是从等式到不等式，是由简单到复杂的过程，符合人们的认知规律；（2）先对文字叙述的语言进行数学式子化， 是用数学解决问题的前提；（3）在理解数学式子的含义基础上，对式子进行变化，最终解决问题，这是问题解决最常用的方法；（4）体现“问题解决” 的一般过程：“理解问题；设计计划；执行计划；回顾全部过程”。

再来看第二问，应由第一问所提供的信息入手，对轧辊和冷轧机的输入输出进行仔细的分析，用示意图表示如下：

从图中可以看出：各对轧辊的输入与输出，冷轧机的输入与输出，第 k 对有缺陷的轧辊压钢带后出现疵点这三者进行分析，发现只需注意连续的两个疵点就可以了，结合所给的列表，不难发现冷轧机输出的疵点间距离Lk 和轧辊输出的疵点间距离的关系，若轧辊 4 有缺陷，因其它 3 个轧辊没有压带钢的两个疵点，冷轧机输出的疵点间距离L4 就是轧辊4的周长；若轧辊3 有缺陷，只有轧辊 4 压着带钢的两个疵点，但其它 2 个轧辊没有压带钢的两个疵点，冷轧机输出疵点的间距离L3 ，就是轧辊3的周长的那段带钢经轧辊4 减薄压延后的长；若轧辊 2 有缺陷，轧辊 3、4 压着带钢的两个疵后，但轧

辊 1 没有压带钢的两个疵点，冷轧机输出的疵点间距

离L2 ，就是轧辊2的周长的那段带钢经轧辊3、4减薄压延后的长；若轧辊1

有缺陷，轧辊2、3、4压着带钢的两个疵点，轧辊的疵点间距离L1，就是轧

辊 1 的周长的那段带钢经轧辊 2，3，4 减薄压延后的长。这时修改问题的提出方法，使之更易建立数学模型，把有疵点的带钢看成一个长方体，疵点正好在长方体的宽边上，分别由轧辊 4、或 4、3 或 4、3、2 压过，冷

轧机输出的长方体的长就分别是L3 、L2 、L1，又由提示可知：在这个变化的过程中从轧辊和冷轧机的输入输出中体积始终保持不变，等量关系就在此，有了这个数学模型，上表中三个空就能顺利添上。（具体书写略）

在此，充分应用了问题解决的一些方法和技巧。（1）利用图和表分析， 能画出图表，看懂（理解）它们；（2）数学建模要抓住不变量和变量及它们的关系；（3）把实际问题理想化也是数学分析的一种技巧。（4）把数学中的几何和代数结合起来去解决实际问题。

综合上面的解法，我们应该看到一个数学问题的解决过程：

1、要对问题进行仔细的阅读，收集问题所涉及的所有信息，理解问题中

与数学有关的内容，如问题中所提供的数字，描述数学关系的文字。

2、在理解问题基础上，要对问题进行数学抽象，有针对性地筛选信息， 设计出一个计划，建立起数学模型；

3、执行计划，根据数学的理论，对问题作出一个明确、完整、符合数学逻辑的结论，否则就必须重复进行第一、第二两步，直到解决数学模型。

4、得出问题的一个解答后，问题解决并未完成，还要检查问题、模型及二者的关系，看是否符合要求，以期得到最后答案。

看到问题解决的步骤和高考题的解答，我们应该感到这次高考的数学试题并不象说的那样“难”，而到底“难”在何处？我认为是学生不会解实际应用问题，是学习内容和方法存在着不足，我们的学生只会解见过面的题型， 生疏一些就不能应付，这正好反映了现行教学中存在的弊端，尽管我们提倡“素质教育”已经很长时间了，仍有许多人对此不甚理解，上课照样是“满堂灌”，搞“题海战术”，背离“素质教育”的要求。今年的高考情况再次提醒我们要注意数学教学中存在的问题，题应怎样做？教师的课该怎样上？ 学生的学又应如何进行？我感到在今天还是要从提高教师及全社会对“素质教育”的认识抓起，应大力提倡“素质教育”，有识之士应进一步完善素质教育理论，使之明确易懂，实践中便于操作，为教师和学生提供借鉴。

综观这次高考数学情况，对于教师应吸取以下教训：

1、全面推行“素质教育”，把能力培养作为教学的重点，特别是创造和创新能力，重视学生的理论联系实际的能力，使学生看到各类知识的作用和价值，提高学生的学习兴趣，使学生能积极有效地学习。

2、重视“过程”的教学。教会学生如何去认识和理解，怎样去发现和创新，又该怎样去解决和回答。现代的信息理论为我们在“认识”的操作上提供了很好的参考，那就是搜集信息按一定标准进行判断和选择，这是学习的第一过程；“理解”是在认识的基础上，根据已有的知识对信息进行加工、再认识，这是学习的第二过程；回顾历史上的发明发现，无不是在充分认识和理解的基础上进行的，对学生的“创造和创新”教育是学习最重要的过程； 还要重视学习的应用，解决问题，回答问题是我们学习目标，这仍是一个过程。所以让学生体会学习“过程”，才能实现我们的教育目的。

3、加强学生对“问题解决”的认识。现在应把“问题解决”当作一项基本技能来看待，这不仅是具有选拔性的高考考试的要求，也是世界教育的潮流，更重要的是实际生活的需要。在数学教学中，应注意“问题解决”技巧的教学。比如，对图表的应用，教会学生“画图”，“列表”，理解“图表”， 会用“图表”进行分析和解题。因为“图表”是实际问题的表现形式之一， 是数学抽象的结果，有时通过图表就能解决问题。

4、教师要注意提高自身的素质，应有超前意识和精神，培养自己的各种能力，不断改进教学方法，才能做好教书育人的工作。从这次高考的情况来看，学生应该学会学习。不能只顾被动地做题，而应主动学习，大胆探索， 提高对学习的认识。

对于今年的高考题，我个人认为是一套好题，因为它不但发挥出选拔优秀人才的作用，也对今后的教学工作有指导意义，确实反映出现行数学教育中教和学的问题，为此，我们应不断地改进教学工作，扎实地推行“素质教育”，培养出符合实际要求的跨世纪的人才。