广东中山市中山纪念中学 沈伟忠 （邮编：528454）

已知f（x） = 2x + 3 ，函数y = g（x）的图象与y＝f -¹（x + 1）的图象x - 1

关于直线 y=x 对称，则 g（3）等于（ ）

（A）3 （B）7/2 （C）9/2 （D）11/3。

甲解：∵f（x） = 2x + 3 ，且由已知得y = g（x）与y＝f -¹（x＋1）互为

x - 1

反函数，

故 g（3）＝11/3。选（D）。

乙解：∵g（x）与f -1（x + 1）关于y = x对称，

∴g（x）与f -1（x＋1）互为反函数。

又∵f -1（x＋1）是f（x）的反函数，

2x + 3

∴f（x） = g（x） =

x - 1 ，

2×3 + 3 9

故g（3） = f（3） =

3 - 1 = 2 。选（C）。

丙解：∵f（x） = 2x + 3 ，

x - 1

∴f ^-1（x） = x + 3 ，f ^-1（x＋1） = x + 4 ，

x - 2 x - 1

由已知条件知g（x）与f -¹（x + 1）互为反函数，

令y = x + 4 ，由求反函数方法得

x - 1

f -¹（x＋1）的反函数为g（x） = x + 4 ，故g（3） = 7 。选（B）。

x - 1 2

以上三种不同解法得到三种不同的结果，我们分析求解过程可知，导致结果不同的根本原因是：f -1（x＋1）与f（x + 1）是否互为反函数。丙的解法是正确的，他们认为 f（x＋1）的反函数不是 f^-1（x+1），而是 y＝

x + 4

x − 1 。下面我们从三个方面加以分析（以下分析中假定反函数存在）：

1. 从函数三要素的核心——对应法则上看：

f（x＋1）与f ^-1（x + 1）对应法则并不互逆。因为f（x＋1）是复合函数

，其对应法则不仅与外函数对应法则 f 有关，而且与内函数 u（x）=x＋1 的对应法则有关。而互为反函数的两个函数的对应法则一定互逆，因此，

f -1（x＋1）不是f（x + 1）的反函数。

1. 从求解反函数过程上看：若设y = f（x + 1），则f -1（y） = x + 1，x = f

   -1（y） - 1，将x、y互换即得y = f（x + 1）的反函数为y = f ^-1（x） - 1，此函数与f -¹（x＋1）显然不同。

2. 从图象变换过程上看：y=f（x＋1）的反函数可由 y=f（x）经过如下

变换而得：y=f（x y=f（x＋1） y=f（x+1） 的反函数（*）

而y = f ^-1（x＋1）的图象可由y＝f（x）经过如下变换而得：

法（一）：y=f（x） y= （x） y=

（x＋1）的图象。

法（二）y＝f（x） y=f（x）-1 y=

（x+1）的图象

尤其是法（二）与变换过程（*）比较，有明显不同，所得结果显然不同。

从以上三个方面我们可以得出y = f（x + 1）的反函数不是y = f -1（x＋1

）。

那么，一般情况下，函数y = f[g（x）]和函数y = f -1[g（x）]究竟分别

与谁互为反函数呢？假若所需要的反函数均存在，我们可作如下求解：

y = f[g（x）]→f -1（y） = g（x）→g -1[f - 1（y）] = x， 故y = f[g（x）]的反函数是y＝g^-1[f -1（x）]。

y = f -1[g（x）]→f（x） = g（x）→g^-1[f（y）] = x， 故y = f -1[g（x）]的反函数是y＝g^-1[f（x）]。

从上述求解中，不难发现：求反函数的过程实质上体现了一种非常重要

的数学思想——函数与方程思想。