改编陈题须慎重

江苏如皋白蒲高级中学 陈军 张云飞 （邮编：226511）

高考命题的途径之一是改编陈题，近几年的高考几乎每年都有改编自课本习题、历年高考题、竞赛试题的题目，因此，改编陈题的能力是每位数学教师的基本能力。改编陈题的方式有多种多样，如特殊化、一般化、交换陈题的条件和结论等等，但不管以何种方式改编陈题，有一条是最基本的，那就是改编陈题须慎重，否则稍不注意便会出错。

例1 如右图，立方体AC1中，EC1 = 2ED1，FC1 = FB1，试求VEFC1 -DBC

。

这是某数学刊物中的一道例题。该文作者紧紧围绕例 1 展开教与学，充

分体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则，在充分暴露学生的思维过程中让学生明白产生错误的原因，从错误中汲取教训，为如何上好一堂习题课树立了良好的榜样，但可能令该文作者也始料不及的是：例 1 是一道错题！

为求VEFC -DBC，该文作者引导学生连接EB等，把几何体EFC1 - DBC分割成三个三棱锥：E - C1CF，E - BCF，E - BDC，得

VEFC -DBC = VE-C1CF＋VE-BCF＋VE-BDC

1

= (18 +

1 1

9 + 6

)a³

1 3

= 3 a 。

但若连接 DF 等，把几何体 EFG－DBC 分割成三个三棱锥 E-C1CF，E-DCF， D-BCF（如右图），则得

VEFC₁ -DBC = VE-C₁CF＋VE-DCF + VD-BCF

= （ 1 + 1 + 1 ）a³ = 11 a ³ 。

18 12 6 36

从而就得出同一个几何体有两种不同的体积！ 错在哪里？

事实上，由于D、B、F、E四点不共面，例1中的几何体EFC1 - DBC是

不确定的，若分别以 BE 或 CF 为棱，可得到两个不同的六面体，无法定出其体积，即例 1 是一道错题！

据笔者分析，本题可能是源出于以下陈题：在正方体AC1中，E、F分别 是C1D1、B1C1的中点，求几何体EFC1 - DBC的体积。该文作者为检验学生对台体、拟柱体及立几中切割补形等数学思想方法的掌握程度，把E为D1C1 中点改为D1C1的1 / 3等分点。但就是这么随便一改，却改出了一道错题。

例2 如下左图，在斜三棱柱ABC - A 1B1C1中，

AA 1 = AC = BC = a，∠A 1AC = 60°，二面角A－CC1 - B为120°，求三棱柱的侧面积。

略解：把侧面AC1与侧面BC1展开摊平在一个平面内，如上右图所示

，连A1B，在△ABA1内，∠A1AB＝60°，AA 1＝a，AB＝AC＋CB＝2a，

∴∠AA1B＝90°，即A1B⊥AA1。∵CC1∥AA1，

∴A1B⊥CC1，即A 1D⊥CC1且BD⊥CC1，

回到立体图中，作A1D⊥CC1于D，连BD，则BD⊥CC1，∴∠A1DB

3 3

= 120°，容易求得A1D＝BD =

2 a，由余弦定理得A1B = 2 a，则三棱锥

的侧面积为S ＝（

3 3 3 1

a + a＋ a）a

3＋2 3）a² 。

^侧 2 2

2 ＝ 2 （

以上解法错了，错在哪里？错在把侧面 AC1 与侧面 BC1 展开摊平在一个平

面内，误认为得到一个平行四边形 ABB1A1。实际上，只有当∠C1CB=60°时图形 ABB1A1 才是平行四边形。也就是说，以上例题是一道错题。为什么会产生错误呢？笔者以为是改编陈题时不慎所致，据分析本题可能源出自以下陈题：已知平行四边形 ABCD 中，∠A＝60°，AD＝a，AB＝2a，M、N 分别是 DC、AB 的中点，沿 MN 翻折四边形 ABCD 构成二面角 A-MN-B，问这个二面角多大时，三棱锥 ABN-DCM 的体积最大，并求出最大值。

从以上陈题及例 2 的比较可以看到，命题者误以为陈题从平行四边形翻折得三棱柱，反之将三棱柱侧面展开也得一个平行四边形，这是改编陈题中想当然。

从以上过程明显地看到：只要在例 2 中加上条件“∠C1CB＝60°”便知

例 2 是一道不可多得的好题。