变换思想在代数中的应用

安徽教育学院 金永容 （邮编：230061）

中学几何课程改革的一种主要倾向是加强几何变换的观点，变换思想和变换法在几何证题和解题中的应用得到重视和加强，大家知道变换群在几何中扮演着重要角色，其实变换的思想和技巧在代数中的应用也很广泛，它解题的基本模式如下图：

现就其中较具代表性的部分作介绍：

例 1 证明任何 6 个人的聚会，其中总会有 3 个人互相认识或有 3 个人都不认识。

分析 在平面上取定 6 个点 A、B、C、D、E、F（任三点不共线）分

别代表这6个人，将6个点两两连线，共得C ² = 15条线。约定：两点连线涂以红色表示相对应代表的两人认识，两点连线涂以蓝色表示相对应代表的两人不认识。于是原问题等价于单色三角形问题：用红蓝两色涂边法去连接平

面上任三点不共线的 6 个点，必然从中找到或者三边全红、或者三边全蓝的

三角形。

证明 从顶点 A 出发，由 A 发出的 5 条线中必有三条同色，不妨设 AB、AC、AD 同红，再看 B、C、D 三点两两连线的三边中，若有一边涂红，比如 BC 涂红，则得三边全红的△ABC，否则△BCD 是三边全蓝的三角形。

例2 求不定方程x1 + x2 + + xm = n（n、m∈N）的非负整数解的个

数。

分析 设计模型；n 个不可辨别的球放入 m 个不同的盒子中。球的每一种放法对应着方程的一组解；反之，方程的每一组非负整数解对应着球在盒中的一种放法。

解 因为n个不可辨别的球放入m个不同的盒子中放法的总数为Cⁿ ，

所以方程的非负整数解的个数为Cⁿ 。

x − y 3

例3 任给7个实数，证明其中必有两个数x、y满足0≤ 1 + xy ≤ 3 。

分析 建立区间（ − ∞， + ∞）到区间（ - π ， π ）的一一映射f：x

2 2

→tanα，任给的7个实数一一对应于（ - π ， π ）上的7个角弧度。问

2 2

题转化为：必有两个角弧度a

₁，a2

∈ （ - π ， π ），使0≤

2 2

tan α1 − tan α 2

1+ tan α1 + tan α 2

≤ 3 。

3

证明 将区间（ - π ， π ）分成6等分：（ - π ， π)，[− π ， − π

2 2 2 3 3 6

)，[− π ，0)，[0， − π)，[ π ， π]，[ π ， π)，由抽屉原则必有两个

6 6 6 3 3 2

角弧度（不妨设a ≥a ）落在同一小区间内，从而 0≤a - a ≤ π ，由正切

1 2 1 2 6

函数的单调性：

0≤tan（a1 - a 2

）≤tan π ，

6

所以 0≤

tan α1 − tan α2

1 + tan α1 ⋅ tan α2

3

≤ 3 ，

x − y 3

记tana1、tana2 对应的实数分别为x、y，有0≤ 1 + xy ≤ 3 。

∞

定义 设{a n}为一给定的无穷数列，则形式幂级数f（x） = ∑an xⁿ 称为

n= 0

数列{a n }的母函数。

∞

显然数列{a n}与其母函数f（x） = ∑an xⁿ 是一一对应的，于是对数列 n= 0

的研究可转化为对其相应的母函数的研究，一个数列的母函数一旦确定，则此数列的通项公式也随之被确定。

例4 求斐波那契数列{a n}的通项。已知a 0 = 1，a1 = 1，an = an-1 + an-2

（n≥2）。

解 设数列{a n}的母函数为：

f（x） = a0 + a1x + a2 x ² + + an xⁿ + ，

- xf（x） = -a x - a x² - - a x ⁿ - ，

- x² f（x） = -a 0x² - a1x³ - - an x ⁿ - ，

将以上三等式两边相加得：

（1 - x - x² ）f（x） = a0 + （a1 - a 0）x + （a 2 - a1 - a 0）x² + + （

a n - a n-1 - a n-2 ）x ⁿ + ，由已知条件得（1- x - x² ）f（x） = 1，

1

所以f（x） = 1 - x - x2

= − 1

{x + [(1 + 5 / 2)}{x + [(1 −

5) / 2]}

= 1  1 − 1 

 x + [(1+ 5) / 2] x + [(1+ 5) / 2]

1 ∞ ∞

= ⋅ 2

⋅ ∑(

n=0

x) n −

⋅ ∑(

n=0

1. ⁿ

= 1

∞

∑(

n= 0

1 + 5

2

) n+1 xn

1 ^∞

− (

5 n= 0

1− 5

2

) n+1 xn

= [(1 +

n= 0 2

∞ 1

5) n+1

− (1 −

2

5 ) n+1 ]xn

= ∑[ ( ) ⁿ⁺¹ − ( ) ⁿ⁺¹ ]x ⁿ ，

n=0

1

从而通项a =

2 2

1 + 5 ) n+1 − ( 1− 5 ) n+1 ]。

[( 2 2

命题 没有 n 个不尽相异的元素：p1 个 a1，p2 个 a2，⋯，pm 个 am，这里p1+p2+⋯+pm=n，记这 n 个不尽相异元素的 r 元可重复组合的个数为 Fr，则函数

f（x） = （1 + x ² + + x^p1 ）（1 + x ² + + x^p 2 ） ⋅ （1 + x² +

+ x ^pm ） ①

展开式中x^r 项的系数就是Fr。

说明 f（x）的展开式中每一项x ^r 一定是这样构成：x ^l 1 ·x^l2 · ·x^lm

= x^r ，其中l + l + + l = r，0≤l ≤p ，1≤i≤m，这里x^l 1 ，x^l2 ， ，

x^lm 分别取自①式右端的第1、2、 、m个因式。令①中m个因式中的x依

次对应a1，a2 ，am 。从第i个因式中取xli表示为“字母ai被取了li 次”。

所以f（x）的展开式中每个x ^r 就对应一种a1，a 2 ，

am 的r元可重复取法，

而每种r元可重复组合又对应于展开式中一个x ^r ，可见所求组合的种数就是f（x）的展开式中经合并同类项后的x ^r 的系数。

例 5 12 张卡片上分别写有 a，a，a，b，b，b，b，c，c，c，c，c，从

中任取 5 张有多少种不同的取法？

分析 这里p1 = 3，p2 = 4，p3 = 5，求F5。

解 因为f（x） = （1 + x + x² + x³ ）（1 + x + x² + x³ + x⁴ ）（1 + x + x²

+ x³ + x⁴ + x⁵）

= （1 + 2x + 3x² + 4x³ + 4x⁴ + 3x⁵ + 2x⁶ + x⁷ ）（1+ x + x² + x³ + x⁴ + x⁵）

= 1+ 3x + + 14x⁴ +17x⁵ + + x¹² ，

所以F5 = 17，从中任取5张有17种不同的取法。

变换思想在中学数学中应用广泛，它可以是同一数学分支内部的变换， 也可以是不同数学分支之间的变换，还可以是不同学科之间的变换，在学习中应注意去领会，并学着去应用。