运用函数的图象推证

例8 已知a∈R^{+ ，b∈[- 2 , 2 ]，求证：}

（b - a）² + （

- 9 ） ² ≥8。

a

分析 左边可看作点P（b，

2 − b² ），Q（a，q / a）的距离的平方。又

点 P可看作位于半圆 x² + y ² = 2（y≥0）上的点，点Q（a，q / a）可看作位

于反比例函数 y=9/x 在第一象限内那一支的点，P、Q 间的最短距离应是直

线y = x与半圆x² ＋y²

= 2（y≥0）及函数y = q / x在第一象限内的一支的两

交点的连线，此时有P（1，1）及 Q（3， 3），|PQ|= 2 2，故命题成立。

小结 利用函数的性质推证不等式，在一般情况下，首先应根据所给不等式的特征，构造出一个具有所需性质的函数，再利用函数性质，作出简便证明，只要函数构造恰当，推证过程就会变得特别简捷明快。