运用一次函数的性质推证

当不等式含有某字母的一次式时，可考虑利用一次函数的性质推证。例 3 设|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：

ab+bc+ca+1＞ 0。

证明 令 f（a）=（b+c）a+bc+1，-1＜a＜1。

∵|b|＜1，|c|＜1，

∴f（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）＞0，

f（-1）=-（b+c）+bc+1＝（c-1）（b-1）＞0。

∴当|a|＜1 时，f(a）＞0， 即 ab+bc+ca+1＞ 0。

例 4 设 0≤a、b、c≤2，求证：

4a + b² + c² + abc≥2ab + 2bc + 2ca。`

证明 视 a 为自变量，构造一次函数

f（a） = （bc - 2b - 2c + 4）a + （b² + c ² - 2bc）。

由 0≤a≤2，知 f（a）表示一条线段。又 f（0）=（b-c）2≥0，

f（2） = b² + c² - 4b - 4c + 8 = （b - 2）2 + （c - 2）2≥0。

可见上述线段在横轴及其上方，

∴ f（a）≥0，即

4a + b² + c ² + abc≥2ab + 2bc + 2ca 。