浅议等差数列的基本性质

安徽省阜阳一中 袁永才（邮编：236034）

等差数列具有一系列基本性质，掌握这些特性对提高解题速度有着重要的作用。现总结如下，以供参考。

性质 1 有限项等差数列到首尾两项“等距离”的两项的和等于首尾两项

的和。即：等差数列{a n }共有n项，则 a1 + an = a 2 + an-1 = a 3 + an-2 = 。

性质 2 若{a n }是等差数列， am 、an 、a p 、 a q 分别是该数列的第m、n、

p、q项，且m + n = p + q，则am + a n = a p + a q 。

利用等差数列的通项公式容易证得以上两个性质。

性质 3（性质 2 中的条件再加强些）在性质 2 的条件下并满足：①公差

d≠0；②mn＞pq，则有a m an ，＞a paq 。

如：公差不为零的等差数列{an}的前100项为a1，a 2 ，a 3， ，a100， 则有a1a100 ＜a2 a99 ＜a3a 98 ＜ ＜a 49a 51＜a ² 。

证明：设数列{a n}首项为a1，公差d≠0，则由通项公式得： am = a1 +

（m - 1） d，an = a1 + （ n - 1） d，ap = a1 + （p - 1）d，aq = a1 + （q - 1）d

，则 a ma n = a 2 + a1（m + n - 2）d + （ m - 1）（n - 1）d² ，

a p aq

= a12

+ （p + q - 2）a1d + (p - 1）（q - 1）d² 。

∵ p + q = m + n，mn＞ pq，∴ aman - ap aq = （mn - pq）d² ＞0，即

aman ＞ap aq ，得证。

性质4 若{a n }为等差数列，bn = pa n + q（其中p，q为给定常数），则数

列{b n }也是等差数列，且公差为原来的p倍。

推广可得：

性质5 若{a n}是公差为d的等差数列，bn = san+p + ta n+q （s、t为给定常数，p、 q为给定的正整数），则数列{bn }也是等差数列，且公差为（s + t） d。

以上两个性质由等差数列的定义即可获证。

将性质 4 再加以推广可得：

性质6 若{a n }是公差为d的等差数列，bn = pa kn + q（其中k为给定的正整数，则数列{b n }也为等差数列且公差为 pkd。

证明 由bn = pa kn + q知：b n+1 = pa k(n+1) + q = pa kn+ k + q = p(a kn

• kd)

+ q = pa kn + q + kpd = bn + pkd，∴{b n} 是等差数列且公差为 pkd。

将性质 5 与性质 6 结合起来加以推广可得：

r

性质7 若{a n }是公差为d的等差数列，则bn = ∑siak n + pi（其中si 为

i=1

给定的常数，ki ，pi 为给定的自然数，i = 1，2， ，r）仍为等差数列，

其公差为（∑si k i）d。

i=1

此性质可直接由性质 5、性质 6 推得。

下面再看等差数列的前 n 项和的几条性质：

性质8 若{a n}是公差为d的等差数列，Sn 是其前n项和，则对一切自然

数 n 均有

Sn+2 + Sn = 2Sn+1 + d 。

证 设{a n}的首项为a1，则由前n项和公式得：

S = (n + 2)a + (n + 2)(n + 1) d，

n+2 1

Sn+1 = (n + 1)a1 +

2

(n + 1)n

2 d，

S = na + n(n - 1) d，

n 1 2

∴S + S = 2[(n + 1)a + n(n + 1) d] + d = 2S + d。

n+ 2 n 1 2

将此条性质加以推广则有：

n+1

性质9 若{a n }是公差为d的等差数列，Sk ，S 2k ， ，Snk ，分别为其前k 项，前 2k 项，⋯，前 nk 项的和（k 为给定的正整数），则对于一切自然数n 均有

S（n+ 2）k + Snk

= 2S + k ²d。

证 设{a n}的首项为a1，由其前n项和公式得：

(n + 2)k[(n + 2)k − 1]

S( n+2) k

= (n + 2)ka1 +

2 d，

S( n+1) k

= (n + 1)ka1

+ (n + 1)k[(n + 1)k − 1] d， 2

Snk

= nka1 +

nk(nk − 1)

2 d，

∴S( n+ 2)k + Snk

= 2(n + 1) ka1

+ 2 ⋅ ( n + 1)k[( n + 1)k − 1] d + k 2d，

2

∴S( n+ 2)k + Snk

2

(n+1) k

性质10 若{a n }是等差数列，Snk （n = 1，2， ）表示其前nk项的和

（k 为给定的正整数），则数列

{S（n+1）k - Snk }为等差数列。

证 设数列{a n }的首项为a1，公差为d，记

bn = S（n+1）k - Snk ，则b n+1 = S（n+2 ）k - S（n+1）k 。

∴ bn+1-bn=S（n+2）k- S（n+1）k- S（n+1）k+ Snk=S(n+2)k+Snk-2S（n+1)k，

∴ 由性质 9 知 bn+1-bn=k²d 为常数。根据等差数列定义知数列{S（n+1） _k-Snk}是公差为 kd² 的等差数列。

除以上介绍性质外，等差数列还有以下优美的组合性质： 性质 若数列{an}(n=0，1，⋯）为等差数列，则：

C ⁰ a - C¹ a + C² a -Λ +(-1) ⁿ Cⁿ a = 0对于一切n≥3的自然数均成立。

n n 1 n 2 n n

证（用数学归纳法）首先观察一下简单情况：若a0 ，a1，a 2 成等差数列，则易知a0 - 2a1 + a2 = 0；若a 0， a1， a 2 ， a 3成等差数列，则易知 a 0

- 3a1 + 3a 2 - a 3 = 0；若 a 0 ，a1，a2 ，a 3，a 4 成等差数列，则易知a 0 - 4a1 + 6a 2 - 4a 3 + a 4 = 0成立。故当n = 3时，命题显然成立，且当a1、a2 、a 3 、a4 成等差数列时，有 a1 - 3a 2 + 3a 3 - a4 = 0成立。

设 n=k 时猜想成立，则有：

C⁰ a 0 − C¹ a1 + C² a2

C⁰ a − C¹ a + C² a

−Λ +(−1) ^k C^k a k = 0①

−Λ +(−1) ^k C^ka = 0②

k 1 k 2 k 3

k k +1

成立，①-②得：

C⁰ a

− (C¹ + C⁰ )a

+ (C² + C¹ )a

−Λ +(−1) ^k−1 (C^k + C^k−1 )a − (−1) ^k C^k

k 0

ak+1 = 0

k k 1

k k 2

k k k k

由组合式得Cⁱ

• Ci−1 = Ci

（i = 1，

k），故得：

C⁰ a0 − C¹

k k

a + C²

k+1

a −Λ +(−1) ^{k +1} C^k+1 ⋅ a

= 0，

k+1

k +1 1

k+1 2

k+1

k+1

即当 n=k+1 时猜想成立，综上所述当 n 为大于或等于 3 的自然数时命题均成立。

以上只是列举了等差数列一系列最基本的性质，当然远不止这些，希望读者再将这些问题加以推广，从而达到更深层地掌握等差数列，并能运用它来研究相关的其他数列的目的。