第 30 讲 包含与排除

同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：

1. 两个面积都是 4 厘米 ² 的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是 8 厘米 ² 吗？

2. 一个正方形每条边上有 6 个点(见右上图)，四条边上一共有 24 个点吗？

聪明的同学马上就会发现：

1. 两个正方形的面积和是 8 厘米 ²，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于 8 厘米 ²。

2. 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝ 20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。

一般地，若已知 A，B，C 三部分的数量(见右图)，其中 C 为 A，B 的重复部分，则图中的数量就等于

A＋ B- C。

因为 A，B 有互相包含(重复)的部分 C，所以，在求 A 和 B 合在一起的数量时，就要在 A＋B 中减去 A 和 B 互相包含的部分 C。这种方法称为包含排除法。

实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第 10 讲“植树问题”的例 3 和例 4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。

例 1 把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分

长 4 厘米，焊接后这根铁条有多长？

**解：**因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊 接后这根铁条长

38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。

例 2 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣

小组的有 29 人，有 12 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

**分析与解：**如上页左下图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与 B 重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有 28-12＝16(人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有 29-12＝17(人)(见上页右下图)。

由此得到参加语文或数学兴趣小组的有

16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。根据包含排除法，直接可得

28＋ 29- 12＝ 45(人)。

例 3 某班共有 46 人，参加美术小组的有 12 人，参加音乐小组的有 23

人，有 5 人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

分析与解：与例 2 对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例 2 求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。

根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为 12＋ 23- 5 ＝ 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46-30=16(人)。综合列式为

46- ( 12＋ 23- 5)＝ 16(人)。

例 4 三年级科技活动组共有 63 人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有 42 人，装配好一架飞机模型的同学有 34 人。每个同学都至少完成

了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？

**分析与解：**因 42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，

42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即 76-(完成了两项活动的人数)＝63。

由减法运算法则知，完成两项活动的人数为

76-63＝13(人)。

例 5 在前 100 个自然数中，能被 2 或 3 整除的数有多少个？

**分析与解：**如右图所示，A 圆内是前 100 个自然数中所有能被 2 整除的

数，B 圆内是前 100 个自然数中所有能被 3 整除的数，C 为前 100 个自然数中

既能被 2 整除也能被 3 整除的数。

前 100 个自然数中能被 2 整除的数有 100÷2=50

(个)。由 100÷3＝ 33⋯⋯ 1 知，前 100 个自然数中能被 3 整除的数有 33 个。由 100÷(2×3)＝ 16⋯⋯4 知，前 100 个自然数中既能被 2 整除也能被 3 整除的数有 16 个。

所以 A 中有 50 个数，B 中有 33 个数，C 中有 16 个数。因为 A，B 都包含C，根据包含排除法得到，能被 2 或 3 整除的数有

50＋ 33- 16＝ 67(个)。