第 12 讲 巧求周长

我们知道：

正方形周长 = 边长×4，

长方形周长 = 长×2 + 宽×2

= ( 长+ 宽)×2。

这两个计算公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。

例如，下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。

例 1 一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从 A 处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到 B 处。你知道其中的道理吗？

**分析与解：**如右上图所示，将各个交点标上字母。由 A 处到 B 处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：

1. A→C→D→E→B； **(2)**A→C→O→E→B； **(3)**A→C→O→F→B； **(4)**A→H→G→F→B； **(5)**A→H→O→E→B； **(6)**A→H→O→F→B。

因为 A→C 与 H→O，G→F 的路程一样长，所以可以把它们都换成 A→C； 同理，将 O→E，F→B 都换成 C→D；将 A→H，C→O 都换成 D→E；将 H→G，O

→F 都换成 E→B。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第**(1)**条路线相同，而第**(1)** 条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说， 每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同，当然到达 B 处的时间就相同了。

例 2 计算下列图形的周长(单位：厘米)。

**解：(1)**将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见 左下图)，这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为 25×4=100(厘米)。

1. 与**(1)**类似，可以移补成一个长方形，周长为(10＋15)×2=50(厘米)。

例 3 求下面两个图形的周长(单位：厘米)。

**解：(1)**与例 2 类似，可以移补成一个长(15＋10＋15)厘米、宽(12＋20) 厘米的长方形，所以周长为

(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。

**(2)**设想先把长 20 厘米的线段向上平移到两条长 15 厘米的线段中间，

构成一个长 60 厘米，宽(15＋20＋15)厘米的长方形，此时，还有两条长 35 厘米的竖线段。所以周长为

60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。

例 4 在一张纸上画出由四个边长为 3 厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些画法中，

**(1)**哪种画法画出的线段总长最长？有多长？ **(2)**哪种画法画出的线段总长最短？有多长？

**分析与解：**画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图 1 那样画的线条最长，共画了

3×4×4=48(厘米)。

右图画的线条最短，共画了

(3＋3)×6=36(厘米)。

例 5 下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为 1 厘米， 求螺线的总长度。

**分析与解：**如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为 3，5，7 厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为

(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。