第 27 讲 巧用矩形面积公式

同学们都知道求正方形和长方形面积的公式：

正方形的面积=a×a(a 为边长)， 长方形的面积=a×b(a 为长，b 为宽)。

利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。

例 1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米)。这个图形的面积等于多少平方米？

**分析与解：**将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法，图形都被 分割成三个长方形。根据这两种不同的分割方法，都可以计算出图形的的面积。

5×2＋(5＋3)×3＋(5＋3＋4)×2=58(米 ²)；

或

5×(2＋3＋2)＋3×(2＋3)＋4×2＝58(米 ²)。

上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形，然后求图形面积的。实际上，我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米 ²)；

或

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米 ²)。

由例 1 看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的

方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。

例 2 右图为一个长 50 米、宽 25 米的标准游泳池。它的四周铺设了宽 2 米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。

**分析与解：**游泳池面积=50×25＝1250(米 ²)。

求地砖面积时，我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图)，从而可得白瓷地砖的面积为

(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米 ²)；

或

(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米 ²)。

求地砖的面积，我们还可以通过“挖”的方法，即从大长方形内“挖掉” 一个小长方形(见右图)。从而可得白瓷地砖面积为

(50＋2＋2)×(25＋2＋2)-50×25

=316(米 ²)。

例 3 下图中有三个封闭图形，每个封闭图形均由边长为 1 厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。

**解：**每个小方格的面积为 1 厘米 ²。

图**(1)**可分成四个凸出块和一个中间块，这五块的面积都是 2×2＝4(厘米 ²)。图**(1)**的面积为

4×5＝20(厘米 ²)。

图**(2)**可以看成是从长 7 厘米、宽 6 厘米的长方形中，“挖掉”4 个边长

为 2 厘米的正方形。它的面积等于

7×6-(2×2)×4=26(厘米 ²)。

图**(3)**像个宝鼎，竖行分割，从左至右分成五块，每块面积依次为 2，5， 3，5，2 厘米 ²，总面积为

2＋5＋3＋5＋2＝17(厘米 ²)。

例 3 中分割成正方形、长方形的方法很多，因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多，所以也可以通过数图中小方格的数目来

求得面积。

例 4 一个长方形的周长是 22 厘米。如果它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积(单位：厘米 ²)有多少种可能值？最大、最小各是多少？**解：**因为长方形的周长是 22 厘米，所以它的长、宽之和是 22÷2＝11(厘

米)。考虑到长、宽都是整数厘米，只有如下情形：

所以，这个长方形的面积有五种可能值：10，18，24，28，30 厘米 ²。最大是 30 厘米 ²，最小是 10 厘米 ²。