第 17 讲 数阵图(二)

上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

例 1 将 1～8 这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于 21。

**分析与解：**中间两个数是重叠数，重叠次数都是 1 次，所以两个重叠数之和为

21×2-(1+2+⋯+8)=6。

在已知的八个数中，两个数之和为 6 的只有 1 与 5，2 与 4。每个大圆上另外三个数之和为 21-6=15。

如果两个重叠数为 1 与 5，那么剩下的六个数 2，3，4，6，7，8 平分为两组，每组三数之和为 15 的只有

2+6+7=15 和 3+4+8=15，

故有左下图的填法。

如果两个重叠数为 2 与 4，那么同理可得上页右下图的填法。

例 2 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。

**分析与解：**本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于

11×3-(1+2+⋯+6)=12。

1～6 中三个数之和等于 12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5。

如果三个重叠数是 1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于 11， 可得左下图的填法。容易发现，所填数不是 1～6，不合题意。

同理，三个重叠数也不能是 3，4，5。

经试验，当重叠数是 2，4，6 时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。

例 3 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

分析与解：与例 2 不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由 (1+2+⋯+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于

[(1+2+⋯+6)+重叠数之和]÷3

=(21+重叠数之和)÷3

=7+重叠数之和÷3。

因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数。考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12。

与例 2 的方法类似，可得下图的四种填法：

每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12

例 4 将 2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于 18。

**分析与解：**四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次。所以四个重叠数之和等于

18×4-(2+3+⋯+9)=28。

而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：

4+7+8+9=28 或 5+6+8+9=28。

又由于 18-9-8=1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和 9 只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：

“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。以上例题都是封闭型数阵图。

一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型m-n 图。

与“辐射型 m-n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m-1”不同的是，封闭型 m-n 图有 m 个重叠数，重叠次数都是 1 次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以

已知各数之和+重叠数之和

=每边各数之和×边数。

由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。

例 5 把 1～7 分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于 13。

**分析与解：**这道题的“重叠数”很多。有重叠 2 次的(中心数，记为 a)； 有重叠 1 次的(三个数，分别记为 b，c，d)。根据题意应有

(1+2+⋯+7)+a+a+b+c+d=13×3，

即 a+a+b+c+d=11。

因为 1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有 a=1，b，c，d 分别为 2，3，4 才符合题意，填法见右上图。