第 16 讲 数阵图(一)

在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：

左上图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于 13。右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例 1 把 1～5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案， 可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

**分析与解：**中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于 9，所以

(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例 2 把 1～5 这五个数填入下页左上图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例 1 不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线

上的三个数之和都等于什么数。所

以，必须先求出这个“和”。根据例 1 的分析知，两条直线上的三个数

相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于

[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10-5=5。在剩下的四个数 1， 2， 3， 4 中，只有 1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。

例 3 把 1～5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

**分析与解：**例 1 是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例 2 是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例 1、例 2 的分析知道，

(1+2+3+4+5)+重叠数

=每条直线上三数之和×2，

所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。

因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为

(15+1)÷2=8。

填法见左下图；

若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为

(15+3)÷2=9。

填法见下中图；

若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为

(15+5)÷2=10。

填法见右下图。

由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。

例 4 将 1～7 这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于 10。

分析与解：与例 1 类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。

因为有 3 条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到

(1+2+⋯+7)+重叠数×2=10×3。

由此得出重叠数为

[10×3-(1+2+⋯+7)]÷2=1。

剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。

如果把例 4 中“每条边上的三个数之和都等于 10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例 3，重叠数可能等于几？怎样填？例 5 将 10～20 填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的

三个数字之和都相等。

**解：**与例 2 类似，中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于

[(10+11+⋯+20)+15×4]÷5=45。

剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30 的有 10，20；11，19；12， 18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。

例 1～5 都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质， 这样的数阵图称为辐射型。例 4 的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射

型 3—3 图；例 5 有五条边每边有三个数，称为辐射型 5—3 图。

一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 m－n 图。

辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即 m-1。对于辐射型数阵图，有

已知各数之和+重叠数×重叠次数

=直线上各数之和×直线条数。

由此得到：

1. 若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-

已知各数之和)÷重叠次数。如例 1、例 4。

1. 若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例

   2、例 5。

2. 若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例

   3。