第 19 讲 能被 3 整除的数的特征

上一讲我们讲了能被 2，5 整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被 2 或 5 整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方

法，直接判断一个数能否被 3 整除？

我们先具体观察一些能被 3 整除的整数：

18，345，4737，25674

18 能被 3 整除，1+8=9 也能被 3 整除；

345 能被 3 整除，3+4+5=9 也能被 3 整除；

4737 能被 3 整除，4+7+3+7=21 也能被 3 整除；

25674 能被 3 整除，2+5+6+7+4=24 也能被 3 整除。

怎么这么巧？我们再试一个：7896852 能被 3 整除，7+8+9+6+8+5+2=45 也能被 3 整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能

被 3 整除的数的各位数字的和都能被 3 整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

741 = 700 + 40 + 1

= 7×100 + 4×10 + 1

= 7×( 99 + 1) + 4×(9 + 1) + 1

= 7×99 + 7 + 4×9 + 4 + 1

= (7×99 + 4×9) + (7 + 4 + 1)。

由 99 和 9 都能被 3 整除，推知(7×99+4×9)能被 3 整除。再由 741 能被

3 整除，推知(7+4+1)能被 3 整除；反之，由(7+4+1)能被 3 整除，推知 741

能被 3 整除。

因此，判断一个整数能否被 3 整除的简便方法是：

如果整数的各位数字之和能被 3 整除，那么此整数能被 3 整除。如果整

数的各位数字之和不能被 3 整除，那么此整数不能被 3 整除。

例 1 判断下列各数是否能被 3 整除：

2574，38974，587931。

**解：**因为 2+5+7+4=18，18 能被 3 整除，所以 2574 能被 3 整除；

因为 3+8+9+7+4=31，31 不能被 3 整除，所以 38974 不能被 3 整除；

因为 5+8+7+9+3+1=33，33 能被 3 整除，所以 587931 能被 3 整除。

为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如， 表示这个三位数的百、十、个位依次是 3，a，5；又如，表示这个四位数的千、百、十、个位依次是 a， b，c，d。

例 2 六位数 能被 3 整除，数字 a=？

**解：**2+5+7+a+3+8=25+a，要使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，5 或8。即符合题意的 a 是 2，5 或 8。

例 3 由 1，3，5，7 这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被 3 整除？

**解：**在 1，3，5，7 这四个数中，任取三个，共有 4 组：

1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5 和 3+5+7 能被 3 整除，所以，由 1，3，5 或 3，5，7 写成的没有重复数字的三位数能被 3 整除。由 1，3，5 可写成 135，153，315，351，513，531 六个三位数；同理， 由 3，5，7 也能写成 6 个三位数。

所以，符合题意的三位数有 6×2=12(个)。

例 4 被 2，3，5 除余 1 且不等于 1 的最小整数是几？

**解：**除 1 以外，被 2 除余 1 的所有整数是3，5，7，9，11，⋯，27，29，31，33，⋯

被 3 除余 1 的所有整数是

4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，⋯ 被 5 除余 1 的所有整数是

6，11，16，21，26，31，36，⋯

上面三列数中，第一个同时出现的数是 31，所以 31 是同时满足被 2，3， 5 除均余 1 且不等于 1 的最小数。

例 4 中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：

因为 5 大于 2 和 3，所以先从被 5 除余 1 的数

1，6，11，16，21，26，31，36，⋯

中找出第一个(1 除外)同时满足被 2 和 3 除都余 1 的数 31，就为所求。

到五年级学了更多的知识后，还可直接由 2×3×5+1=31 得到所求数。

例 5 同时能被 2，3，5 整除的最小三位数是几？

**解：**能被 5 整除的三位数是100，105，110，115，120，125，⋯其中，第一个能同时被 2，3 整除的

数是 120(它是偶数，且 1+2+0=3)，故 120 为所求。