第 15 讲 趣题巧解

为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：

一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？ 把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？

一树枝上有 10 只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？

这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。

例 1 一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？

分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩 3 个角”，答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后， 再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。

**解：**由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有 5 个角、4 个角或 3 个角。

答：还剩 5 个角、4 个角或 3 个角。

例 2 37 个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载 5 人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？

分析：如果由 37÷5=7⋯⋯2，得出 7+1=8 次，那么就错了。因为忽视了至少要有 1 个人将小船划回来这个特定的要求。实际情况是：小船前面的每

一个来回至多只能渡 4 个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡 5 个人过河。

**解：**因为除最后一次可以渡 5 个人外，前面若干个来回每个来回只能渡

过 4 个人，每个来回是 2 次渡河，所以至少渡河

[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。

答：至少要渡河 17 次。

**例 3(1)**右图是 10 枚硬币，移动其中 1 枚硬币，使每一行上都有 6 枚硬币。

**(2)**用 12 根火柴拼出 6 个边长为 1 根火柴的正方形。

**分析与解：(1)**10 枚硬币摆两行，一般来说每行有 10÷2=5(枚)。图中的两行却是一行 5 枚一行 6 枚，原因是中间有 1 枚在两行的交叉点上，所以出现了 5+6＞10。由于题中并没有规定每个位置上只准放一枚，所以，只要

使其中 1 枚硬币在两直行的交叉点上再“重复”一下，即在两行的交叉点上

重叠地放 2 枚硬币(见右上图)，就可达到目的。

**(2)**一个正方形需要 4 根火柴才能拼出，12 根火柴只能拼出 3 个正方形，

即使如左下图所示，也只能拼出 4 个正方形。如果我们放弃“在平面上拼” 这种平常的思路，而改为在“立体空间中去拼”的新思路，那么就可能“柳暗花明”。

当思路转向立体空间后，自然会联想到正方体图形。因为它有六个正方形表面，而且正方体的棱恰好是 12 条，所以完全符合题意。

拼法如右上图所示。

例 3 的解法说明，“换一个角度”或“换一个方向”去思考问题，往往能收到“奇效”！本题**(2)**如果把思路始终局限在平面上那么就绝无出路。事实上，题目中并没有这样的限制，而是习惯的思维方式把我们限制了。一旦转到立体空间去思考，问题就迎刃而解了。

例 4 一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都是整千克数，其

中，最轻的重 1 千克，最重的重 60 千克。叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重量。在重 1～60 千克的动物都有的情况下，它们最多能叠几层？(叠一个动物算一层)

**分析与解：**由于要求叠的层数尽量多，所以应该想到：①最上一层应是最轻的动物；②每只动物上面的总重量尽量等于自己的重量(也满足“不超过”自己的重量要求)。按这两条原则叠罗汉，能很容易找出各层的动物重量， 从上到下，它们依次为：

因为 96＞60，所以这群动物最多只能叠七层罗汉。(叠法不唯一)

如果只有重 1，3，5，7，9，11，21 千克的七个动物，按例 4 中的要求叠罗汉，那么最多能叠几层？它是由哪些重量的动物叠出来的？(答案： 5 层；由重 1， 3， 5， 9， 21 千克的动物叠出)

**例 5(1)**小丽家里的闹钟每天早晨 6 点半准时响铃，提醒小丽起床，准备上学。有一次，小丽第二天要 6 点钟起床到学校去大扫除，她在头天晚上

9 点时把闹钟钟面时间调到 8 点半还是调到 9 点半，才能使闹钟第二天早晨 6 点钟响铃？

**(2)**小明和小强约定 10 点钟在学校门口碰面，小明的表慢 5 分钟，而他

却以为慢 10 分钟；小强的表慢 10 分钟，而他却以为快 5 分钟。他俩会面时， 谁迟到了？先到者等了多少时间才见到迟到者？

**分析与解：**解决这两个问题的关键是弄清“正确时间”和“钟面时间” 的含意。

1. 要使闹铃 6 点钟响，即比平常提前半小时响，此时的钟面时间是 6

点半，它比正确时间多半小时。所以，在头天晚上 9 点调时针时，必须使钟

面时间比正确时间多半小时，即应调到 9 点半。

1. 以正确时间为准。小明以为他的表慢 10 分，所以，他比钟面时间提

早 10 分到达，实际上他的钟面时间只比正确时间慢 5 分，所以小明提前了

10-5=5(分)；小强以为他的表快 5 分，所以，他比钟面时间晚到 5 分，实际上他的钟面时间比正确时间慢 10 分，小强迟到了 10+5=15(分)。会面时，小强迟到了，小明等了小强

5+15=20(分)。

**例 6(1)**三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个小朋友几分钟削六支铅笔？

**(2)**三只猫三天吃三只老鼠，照此效率，六只猫六天吃几只老鼠？ **分析与解：**这两个问题用来训练对倍数关系的准确理解。

1. 中小朋友个数变成 2 倍，削的铅笔也变成 2 倍，所以，完成的时间

应不变，即 3 分钟。

如果具体分析，那么由已知条件推知，一个小朋友削一支铅笔需 3 分钟，

所以，六个小朋友削六支铅笔还是需 3 分钟。

1. 中猫的只数变成 2 倍，天数也变成 2 倍，所以，吃的老鼠只数就变成了

   2×2=4(倍)，即吃了

3×4=12(只)。

具体分析，由已知条件推知，一只猫三天吃一只老鼠，所以，当猫变成6 倍(六只)，而天数不变时，就有六只猫三天吃 1×6=6(只)老鼠。进而，当

猫不变(六只)，而天数变为 2 倍(六天)时，就有六只猫六天吃老鼠

6×2=12(只)。