第 22 讲 横式数字谜(二)

第 2 讲我们初步介绍了简单的横式填数问题。这一讲再继续介绍一些此类问题。

例 1 在下列各式的□里填上合适的数字： **(1)**237÷□□=□； **(2)**368÷□□=□□；

**(3)**14×□□=3□8。

**解：(1)**将除法变为乘法，可以转化为“在

237=□□×□

中填入合适的数字”的问题。因为 237＝237×1＝79×3，所以只有一种填法：

1. 问题可以转化为“在 368＝□□×□□中填入合适的数字”的问题。因为

368＝368×1＝184×2＝92×4

＝46×8＝23×16，

其中只有 368＝23×16 是两个两位数之积。因而有如下两种填法：

1. 由被乘数的个位数是 4，积的个位数是 8 知，乘数的个位数只可能为2 或 7，再由被乘数的十位数是 1，积的百位数是 3 知，乘数的十位数不能填大于 3 的数字。所以乘数只可能是 12，17，22，27，32 或 37。经试算，符合题意的填法有两种：

例 2 在下列各式的□里填上合适的数： **(1)**□÷32＝7⋯⋯29； **(2)**480÷156＝□⋯⋯12； **(3)**5367÷□＝83⋯⋯55。

分析：根据有余数的除法(简称带余除法)知：

被除数=不完全商×除数＋余数， 被除数-余数=不完全商×除数。

上式说明，(被除数-余数)是不完全商或除数的倍数，并且有

(被除数-余数)÷除数=不完全商， (被除数-余数)÷不完全商=除数。

由此分析，可以得到如下解法。

**解：(1)**由 7×32＋29＝253，得到如下填法：

**(2)**由(480-12)÷156＝3，得到如下填法：

**(3)**由(5367-55)÷83＝64，得到如下填法：

例 3 在下列各式的□里填入合适的数字，使等式成立：

**(1)**□5□×23＝5□□2；

**(2)**9□□4÷48=□0□。

**分析与解：(1)**首先，从个位数分析，可知被乘数的个位数只能为 4。其次，从首位数分析知，被乘数□5□的首位数只能为 2。因为，被乘数

的首位取 1 时， ×23 的积的首位小于 5，而取大于 2 的数时，积的首位数大于 5。

由 254×23＝5842 知，填法如下：

1. 将问题转换成“在 9□□4=□0□×48 中填数”的问题。

类似**(1)**的分析，被乘数□0□的首位只能填 2，个位数只能填 3 或 8。

由

203×48＝9744 和 208×48＝9984

知，有如下两种填法：

例 4 在下列各题中，每一题的四个□中都填同一个数字，使式子成立：

**(1)**□+□＞□×□； **(2)**□+□=□×□； **(3)**□+□＜□×□。

**解：解这类题全靠对数的深刻认识和对四则运算的熟练掌握。(2)**只能填 2 或 0：

1. 除 0，1，2 三数字外，其他数字 3，4，⋯，9 都可填。

例 5 在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字：

756=□×□□□。

**分析与解：**将乘法式子改写成除法式子：

756÷□=□□□。

因为被除数与商都是三位数，所以除数不能大于被除数的百位数 7。又因为题目要求没有重复数字，所以除数只可能是 2，3，4。逐一试除，得到

756÷2＝378，

756÷3＝252，

756÷4＝189。

只有 756÷4＝189 没有重复数字，所以只有一种填法：

例 6 将 0，1，2，3，4，5，6 七个数字分别填入下式的七个□里，使算式成立：

□□÷□=□×□=□□。

**分析与解：**为了方便，我们将原式分成两个等式，并在□里填上字母， 以示区别：

其中字母 A，B，C，D，E，F，G 分别代表 0～6 这七个数字。由①式看出， E 不能是 0，否则 B 也是 0，不合题意。再由②式看出，F，G 既不能是 0，也不能是 1。F，G 只能是 2，3，4，5 或 6，考虑到 E≠0，再除去有重复数字的情形，满足②式的数字填法只有 3×4＝12。此时，还剩下 0，5，6 三个数字未填。因为在①式中 A，C 都不能是 0，所以 B 是 0，由 60÷5＝12，得到符合题意的唯一填法：