第 21 讲 乘法中的巧算

上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。

1.乘 11，101，1001 的速算法

一个数乘以 11，101，1001 时，因为 11，101，1001 分别比 10，100， 1000 大 1，利用乘法分配律可得

a×11=a×(10＋1)=10a＋a， a×101=a×(101＋1)=100a＋a， a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。

例如，38×101=38×100＋38=3838。

2.乘 9，99，999 的速算法

一个数乘以 9，99，999 时，因为 9，99，999 分别比 10，100，1000 小1，利用乘法分配律可得

a×9=a×(10-1)=10a-a， a×99=a×(100-1)=100a- a， a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如，18×99=18×100-18=1782。

上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千⋯⋯的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千⋯⋯ 与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。

例 1 计算：

(1) 356×1001

＝356×(1000＋1)

＝356×1000＋356

＝356000＋356

＝356356；

(2) 38×102

＝38×(100＋2)

＝38×100＋38×2

＝ 3800＋76

＝3876；

**(3)**526×99

＝526×(100-1)

＝ 526×100-526

＝ 52600-526

＝52074；

**(4)**1234×9998

＝ 1234×(10000-2)

＝1234×10000-1234×2

＝12340000-2468

＝12337532。

3.乘 5，25，125 的速算法

一个数乘以 5，25，125 时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000， 所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

α×5＝α×(5×2÷2)

＝α×(5×2)÷2

＝10α÷2， α×25＝α×(25×4÷4)

＝α×(25×4)÷4

＝100α÷4， α×125＝α×(125×8÷8)

＝α×(125×8)÷8

＝1000α÷8。

例如，76×25＝7600÷4＝1900。

上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千⋯⋯的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。

例 2 计算：

(1) 186×5

=186×(5×2)÷2

=1860÷2

=930；

(2) 96×125

=96×(125×8)÷8

=96000÷8=12000。

有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是 25 而是 75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

例 3 计算：

(1) 84×75

=(21×4)×(25×3)

=(21×3)×(4×25)

=63×100=6300；

**(2)**56×625

=(7×8)×(125×5)

=(7×5)×(8×125)

=35×1000=35000；

(3) 33×125

=32×125+1×125

=4000+125=4125；

(4) 39×75

=(32+1)×125 =(40-1)×75

=40×75-1×75

=3000-75=2925。

1. 个位是 5 的两个相同的两位数相乘的速算法

个位是 5 的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是 25，25 前面的数是这 个 两 位 数 的 首 位 数 与 首 位 数 加 1 之 积 。 例 如 ：

仿此同学们自己算算下面的乘积

35×35＝

65×65＝

95×95＝

55×55＝

85×85＝

这种方法也适用于个位数是 5 的两个相同的多位数相乘的计算，例如，