第 18 讲 能被 2，5 整除的数的特征

同学们都知道，自然数和 0 统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除； 否则，就是不能整除。例如，

84 能被 2，3，4 整除，因为 84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，

21 都是整数。

而 84 不能被 5 整除，因为 84÷5=16⋯⋯4，有余数 4。也不能被 13 整除， 因为 84÷13=6⋯⋯6，有余数 6。

因为 0 除以任何自然数，商都是 0，所以 0 能被任何自然数整除。

这一讲的内容是能被 2 和 5 整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能

被 2 或 5 整除。

1. 能被 2 整除的数的特征

因为任何整数乘以 2，所得乘数的个位数只有 0，2，4，6，8 五种情况， 所以，能被 2 整除的数的个位数一定是 0，2，4，6 或 8。也就是说，凡是个位数是 0，2，4，6，8 的整数一定能被 2 整除，凡是个位数是 1，3，5，7， 9 的整数一定不能被 2 整除。

例如，38，172，960 等都能被 2 整除，67，881，235 等都不能被 2 整除。能被 2 整除的整数称为偶数，不能被 2 整除的整数称为奇数。0，2，4，6，8，10，12，14，⋯就是全体偶数。

1，3，5，7，9，11，13，15，⋯就是全体奇数。偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数， 奇数±偶数=奇数， 偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。

例 1 在 1～199 中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？

**分析与解：**由于 1，2，3，4，⋯，197，198，199 是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：

(1，2)，(3，4)，⋯，(197，198)，

还剩一个 199。共有 198÷2=99(对)，还剩一个奇数 199。所以奇数的个数=198÷2+1=100(个)，

偶数的个数=198÷2=99(个)。

因为每对中的偶数比奇数大 1，99 对共大 99，而 199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大 100。

如 果 按 从 大 到 小 两 两 配 对 ： (199，198)，(197，196)，⋯，(3，2)，那么怎样解呢？

**例 2(1)**不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？

**(2)**数(42□+30-147)能被 2 整除，那么，□里可填什么数？

**(3)**下面的连乘积是偶数还是奇数？

1×3×5×7×9×11×13×14×15。

**解：**根据奇偶数的运算性质：

**(1)**因为 524，42 是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为 429 是奇数， 所以(524+42-429)是奇数。

**(2)**数(42□+30-147)能被 2 整除，则它一定是偶数。因为 147 是奇数， 所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中的 30 是偶数，所以，数 42□必为奇数。于是，□里只能填奇数 1，3，5，7，9。

**(3)**1，3，5，7，9，11，13，15 都是奇数，由 1×3 为奇数，推知 1×3

×5 为奇数⋯⋯推知

1×3×5×7×9×11×13×15

为奇数。因为 14 为偶数，所以

(1×3×5×7×9×11×13×15)×14 为偶数，即

1×3×5×7×9×11×13×14×15 为偶数。

由例 2 得出：

1. 在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。

2. 在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。例 3

   在黑板上先写出三个自然数 3，然后任意擦去其中的一个，换成所

剩两个数的和。照这样进行 100 次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？

**解：**根据奇偶数的运算性质知：

第一次擦后，改写得到的三个数是 6，3，3，是“二奇一偶”；

第二次擦后，改写得到的三个数是 6，3，3 或 6，9，3 或 6，3，9，都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积

奇数×奇数×偶数=偶数。

故进行 100 次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。

1. 能被 5 整除的数的特征

由 0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，⋯可以推想任何一个偶数乘以 5，所得乘积的个位数都是 0。

由 1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，⋯可以推想，任何一个奇数乘以 5，所得乘积的个位数都是 5。

因此，能被 5 整除的数的个位数一定是 0 或 5。也就是说，凡是个位数

是 0 或 5 的整数一定能被 5 整除；凡是个位数不是 0 或 5 的整数一定不能被

5 整除。例如，870，6275，1234567890 等都能被 5 整除，264，3588 等都不

能被 5 整除。

例 4 由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被 5 整除？

**解：**因为个位数为 0 或 5 的数才能被 5 整除，所以由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，只有 350，530，305 三个数能被 5 整除。

例 5 下面的连乘积中，末尾有多少个 0？

1×2×3×⋯×29×30。

**解：**因为 2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子 2 和一个因子 5，末尾就有一个 0。连乘积中末尾的 0 的个数，等于 1～30 中因子 2 的个数与因子 5 的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2 的个数比因子 5 的个数多(如4 含两个因子 2，8 含三个因子 2)，所以，连乘积末尾 0 的个数与连乘积中因子 5 的个数相同。连乘积中含因子 5 的数有 5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中 25 含有两个因子 5)。所以，1×2×3×⋯×29

×30 的积中，末尾有七个 0。