第 11 讲 巧数图形

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

例 1 数出下图中共有多少条线段。

**分析与解：**我们可以按照线段的左端点的位置分为 A，B，C 三类。如下图所示，以 A 为左端点的线段有 3 条，以 B 为左端点的线段有 2 条，以 C 为左端点的线段有 1 条。所以共有 3＋2＋1＝6(条)。

我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示， AB，BC，CD 是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有 3 条，由两条小线段构成的线段有 2 条，由三条小线段构成的线段有 1 条。

所以，共有 3＋2＋1＝6(条)。

由例 1 看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。

例 2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？

**分析与解：**因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，

图**(1)**中有三角形 1＋2＝3(个)。图**(2)**中有三角形 1＋2＋3=6(个)。

图**(3)**中有三角形 1＋2＋3＋4＝10(个)。

图**(4)**中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。图**(5)**中有三角形

1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。

例 3 下列图形中各有多少个三角形？

**分析与解：(1)**只需分别求出以 AB，ED 为底边的三角形中各有多少个三角形。

以 AB 为底边的三角形 ABC 中，有三角形

1＋2＋3＝6(个)。以 ED 为底边的三角形 CDE 中，有三角形

1＋2＋3＝6(个)。所以共有三角形 6＋6=12(个)。

这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算： 图中共有 6 个小块。

由 1 个小块组成的三角形有 3 个；

由 2 个小块组成的三角形有 5 个；

由 3 个小块组成的三角形有 1 个；

由 4 个小块组成的三角形有 2 个；

由 6 个小块组成的三角形有 1 个。所以，共有三角形

3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。

1. 如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：

由 1 个小块组成的三角形有 4 个；

由 2 个小块组成的三角形有 6 个；

由 3 个小块组成的三角形有 2 个；

由 4 个小块组成的三角形有 2 个；

由 6 个小块组成的三角形有 1 个。所以，共有三角形

4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。

例 4 右图中有多少个三角形？

**解：**假设每一个最小三角

形的边长为 1。按边的长度来分类计算三角形的个数。

边长为 1 的三角形，从上到下一层一层地数，有

1＋3＋5＋7=16(个)；

边长为 2 的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有 1＋2 ＋3 ＋ 1=7(个)；

边长为 3 的三角形有 1＋2＝3(个)； 边长为 4 的三角形有 1 个。

所以，共有三角形

16＋7＋3＋1＝27(个)。

例 5 数出下页左上图中锐角的个数。

**分析与解：**在图中加一条虚线，如下页右上图。容

易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例 2，从而回到例 1 的问题，即所求锐角的个数，就等于从 O 点引出的 6 条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有

1+2+3+4+5=15(条)。

所以图中共有 15 个锐角。

例 6 在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

**解：**按包含的小块分类计数。

包含 1 小块的有 1 个；包含 2 小块的有 4 个；

包含 3 小块的有 4 个；包含 4 小块的有 7 个；

包含 5 小块的有 2 个；包含 6 小块的有 6 个；

包含 8 小块的有 4 个；包含 9 小块的有 3 个；

包含 10 小块的有 2 个；包含 12 小块的有 4 个；

包含 15 小块的有 2 个。所以共有

1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。