第 10 讲 植树问题

绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题” 来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：

1. 非封闭线的两端都有“点”时，

“点数”＝“段数”＋1。

1. 非封闭线只有一端有“点”时，

“点数”=“段数”。

1. 非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”-1。

1. 封闭线上，“点数”=“段数”。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

例如，一条河堤长 420 米，从头到尾每隔 3 米栽一棵树，要栽多少棵树？ 这是第**(1)**种情形，所以要栽树 420÷3＋1＝141(棵)。

又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长 40 米。肖林要在小路一旁每

隔 2 米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第**(2)**种情形，要栽树 40÷2＝20(棵)。

再如，两座楼房之间相距 30 米，每隔 2 米栽一棵树，一直行能栽多少棵

树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第**(3)**种情形，能栽树 30÷2- 1＝14(棵)。

再例如，一个圆形水池的围台圈长 60 米。如果在此台圈上每隔 3 米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第**(4)** 种情形，共能放花 60÷3＝ 20(盆)。

许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。

例 1 在一段路边每隔 50 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路

灯杆，共埋设了 10 根。这段路长多少米？

**解：这是第(1)**种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为 50×

(10-1)＝450(米)。

答：这段路长 450 米。

例 2 小明要到高层建筑的 11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

分析：因为 1 层不用走楼梯，走到 5 层走了 4 段楼梯，由此可求出走每

段楼梯用 100÷(5－1)＝25(秒)。走到 11 层要走 10 段楼梯，还要走 6 段楼梯，所以还需

25×6＝150(秒)。

解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。

答：还需 150 秒。

例 3 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共 30 辆，每辆车长 4 米，前

后每辆车相隔 5 米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶 2 米，那么

这列车队要通过 535 米长的检阅场地，需要多少时间？

**解：**车队间隔共有

30-1＝29(个)，

每个间隔 5 米，所以，间隔的总长为

(30-1)×5＝145(米)，

而车身的总长为 30×4＝120(米)，故这列车队的总长为

(30-1)×5+30×4＝265(米)。

由于车队要行 265＋535＝800(米)，且每秒行 2 米，所以，车队通过检阅场地需要

(265＋535)÷2＝400(秒)＝6 分 40 秒。

答：这列车队共长 265 米，通过检阅场地需要 6 分 40 秒。

例 4 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

**解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长 6 毫米)。根据植树问题的第(3)**种情形知，五个连在一起的“环扣”数为 5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为

6×(5-1)＝24(毫米)，

又 4 厘米=40 毫米，所以五个铁环连在一起长

40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。

同理，十个铁环连在一起的长度为

40×10-6×(10-1)=346(毫米)。

答：五个铁环连在一起的长度为 176 毫米。十个铁环连在一起的长度为

346 毫米。

例 5 父子俩一起攀登一个有 300 个台阶的山坡，父亲每步上 3 个台阶，

儿子每步上 2 个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？ (重复踏的台阶只算一个)。

**解：**因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的 台阶数为

300÷2＝150(个)，

父亲踏过的台阶数为 300÷3＝100(个)。

由于 2×3=6，所以父子俩每 6 个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了 300

÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶

150＋100-50＝200(个)。

答：父子俩共踏了 200 个台阶。