第 25 讲 差倍应用题

与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是：

已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。

上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：

从线段图知，“差”是小数(即“1 倍”数)的(倍数-1)倍，所以， 小数=差÷(倍数-1)。

上式称为差倍公式。由此得到

大数=小数+差，

或

大数=小数×倍数。

例如，大、小数之差是 152，大数是小数的 5 倍，则

小数=152÷(5-1)=38，

大数=38＋152=190 或 38×5＝190。

例 1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多 128 个，且是

徒弟的 3 倍。师徒二人一天各生产多少个零件？

分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是 128 个。小数(即“1 倍”数) 是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为 3。由差倍公式可以求解。

**解：**徒弟一天生产零件

128÷(3-1)=64(个)，

师傅一天生产零件

128＋64＝192(个)或 64×3＝192(个)。

答：徒弟、师傅一天分别生产零件 64 个和 192 个。

例 2 两根电线的长相差 30 米，长的那根的长是短的那根的长的 4 倍。这两根电线各长多少米？

解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长

30÷(4-1)＝10(米)，

长的电线长

10＋30＝40(米)或 10×4＝40(米)。

答：短的电线长 10 米，长的电线长 40 米。

解差倍应用题的关键是确定“1 倍”数是谁，“差”是什么。上两例中， “1 倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1 倍”数的例子。

例 3 甲、乙二工程队，甲队有 56 人，乙队有 34 人。两队调走同样多人

后，甲队人数是乙队人数的 3 倍。问：调动后两队各还有多少人？ 分析：画线段图如下：

由上图可知，“1 倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是 56- 34=22(人)。

**解：**由差倍公式得调动后乙队有

(56-34)÷(3-1)=11(人)。

调动后甲队有

11×3=33(人)或 11＋(56-34)=33(人)。

答：调动后甲队有 33 人，乙队有 11 人。

例 4 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走 26 千克油，乙桶加入 14 千克油，

这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的 3 倍。两桶油原来各有多少千克？

**分析与解：**画线段图如下：

从上图知，当甲桶取走 26 千克、乙桶加入 14 千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的 3 倍，所以，“1 倍”数是甲桶里剩下的油。“差”是什么呢？ 从图中可知，“1 倍”与“3 倍”之间的差 26＋14＝40(千克)就是我们要找的“差”。所以，由差倍公式知，

“1 倍”数=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。

故甲、乙桶原来各有油

20＋26＝46(千克)， 或 20×3-14＝46(千克)。

答：原来各有 46 千克。

例 5 小云比小雨少 20 本书，后来小云丢了 5 本书，小雨新买了 11 本书，

这时小雨的书比小云的书多 2 倍。问：原来两人各有多少本书？

分析与解：“小雨的书比小云的书多 2 倍”，即小雨的书是小云的书的

1. 倍。这个“倍数”是变化后的，所以“1

   倍”数应是小云变化后的书(见下图)。“差”是

20＋5＋11＝36(本)。

根据和差公式得： 小云现有书

(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)。

小云原来有书 18＋5＝23(本)， 小雨原来有书 23＋20＝43(本)。

答：原来小云有 23 本书，小雨有 43 本书。