第 24 讲 和倍应用题

小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。

和倍应用题的基本“数学格式”是：

已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。

上面的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：

从线段图知，“和”是小数的(倍数+1)倍，所以，

小数=和÷(倍数+1)。上式称为和倍公式。由此得到

大数=和-小数，

或 大数=小数×倍数。

例如，大、小二数的和是 265，大数是小数的 4 倍，则

小数=265÷(4＋1)=53，

大数=265-53=212 或 53×4=212。

例 1 甲、乙两仓库共存粮 264 吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的 10 倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？

分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。

**解：**乙仓库存粮 264÷(10＋1)＝24(吨)，甲仓库存粮

264-24=240(吨)，

或

24×10＝240(吨)。

答：乙仓库存粮 24 吨，甲仓库存粮 240 吨。

例 2 甲、乙两辆汽车在相距 360 千米的两地同时出发，相向而行，2 时

后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的 2 倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？

分析：已知甲车速度是乙车速度的 2 倍，所以“1 倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2

时共行 360 千米，故 1 时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。

**解：**乙车的速度为

(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时)，

甲车的速度为

60×2=20(千米/时)，或 180-60=120(千米/时)。答：甲车每时行 120 千米，乙车每时行 60 千米。

从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1 倍”数(即小数) 是谁，“和”是谁。例 1、例 2 的“1 倍”数与“和”极为明显，其中例 2 中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1 倍”数不太

明显的例子。

例 3 甲队有 45 人，乙队有 75 人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才

是甲队人数的 3 倍？

分析：容易求得“二数之和”为 45＋75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的 3 倍”推出“1 倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75 不是 45 的 3 倍也知是错的。这个“1 倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的 3 倍。由此画出线段图如下：

从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1 倍”数。由和倍公式可以求解。

**解：**甲队调动后剩下的人数为

(45＋ 75)÷ (3 ＋1) ＝ 30( 人) ，故甲队调入乙队的人数为 45-30 ＝ 15(人)。

答：甲队要调 15 人到乙队。

例 4 妹妹有书 24 本，哥哥有书 53 本。要使哥哥的书是妹妹的书的 6 倍， 妹妹应给哥哥多少本书？

仿照例 3 的分析可得如下解法。

**解：**兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下

(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书 24-11＝13(本)。答：妹妹给哥哥书 13 本。

例 5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇 160 个。后来大白兔把它的蘑菇给了

其它白兔 20 个，而小灰兔自己又采了 10 个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔

的 5 倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

**分析与解：**这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是 160－20＋10＝150，“1 倍”数却是“小灰兔又自己采了 10 个后的蘑菇数”。线段图如下：

根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1 倍”数)

(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，

故小灰兔原有蘑菇 25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇

160-15＝145(个)。

答：原来大白兔采蘑菇 145 个，小灰兔采 15 个。