第 28 讲 一笔画(一)

如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重

复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，**(1)(2)**不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18 世纪时河上共有七座桥连接 A，B 两个岛以及河的两岸 C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次， 怎样走才能成功？

当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736 年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把 A，B 两岛以及陆地 C，D 用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I 是偶点，D，H，J，O 是奇点。

欧拉的一笔画原理是：

1. 一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；

2. 没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；

3. 只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，

   以另一个奇点为终点；

4. 奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中 A，B，C，D 都是奇点， 有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

顺便补充两点：

1. 一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

1. 有 K 个奇点的图形要 K÷2 笔才能画成。

例如：下页左上图中的房子共有 B，E，F，G，I，J 六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段 GF 和 BJ 去掉，剩下 I 和 E 两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段 GF 和 BJ，共需三笔，即( 6 ÷2)笔画成。

一个 K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的 B，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为 2 个， 从而变成一笔画。

到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加

连线将多笔画变成一笔画。