赋值证题

有这样一道题：

在线段 AB 的两端分别标以红、蓝两色。在段线中间插入 n 个分点，在各分点随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为 n＋1 个不重迭的小线段，试证异色线段（两端涂不同颜色者）的个数是奇数。（1979 年安徽数学竞赛题）

它的证明可以用归纳法完成（当然也可以直接去考虑）。下面我们来考虑另一种方法（见图 4－1）。

先把这些点赋值：红点表示+1，蓝点表示-1，再把它们

在平面上表示的点描出，然后把相邻点间连成线段，显然这时对应的异色线段必穿过横轴 AB，而同色线段则不穿过。我们知道：当点从+1 变到-1 时，连续曲线穿过横轴的次数是奇数，命题得证。

由上我们还不难想到下面的事实（图 4－2）：对于多项式 f（x）=anxn

＋⋯＋a1x＋a0 来说，若 f（a）与 f（b）异号，则 f（x）在（a，b）区间必有奇数个相异的实根。

下面再看一个例子。

有男女共 n 人围坐一圆桌，今在他们任意两人中间均置一花朵，其中同性者中间插一红花，异性者中间插一蓝花。今若红花与蓝花朵数一样，则男女人数之和 n 必是 4 的倍数。

我们把男人看成＋1，女人看成-1，则红花看成（＋1）·（＋1）或（- 1）·（-1），而蓝花看成（＋1）·（-1）或（－1）·（＋1），这时问题变为：

x1，x2，⋯，xn 是一组数，它们均为＋1 或-1，若 x1x2＋x2x3＋⋯＋xnx1=0，则 n 必是 4 的倍数。（图 4－3）。

综上所述，可以知道：在 x1，x1′之间异色线段必有偶数个（注意它是

从＋ 1 到＋1，-1 或从-1 到-1），即 x1x2，x2x3，⋯，x1 中的一个数是偶数， 令为 2k。又由 x1x2＋x2x3＋⋯＋xnx1=0 知 x1x2，x2x3，⋯xnx1 中＋1 的个数也为偶数 2k，于是 n＝4k。

读者不妨自己再找几个赋值办法解决的更有趣的例子。