利用“等可能性”巧算概率

通过大量的重复试验，得到频率的稳定值，这无疑是求事件概率的最一般方法。

但是，现实中并非所有情况都是等可能的。像考试得分、电话传呼、打靶中环等不均等的例子，比比皆是，下面也是一个典型的例子。直接观察得：

21 ＝ 2 是以数字 2 为开头的；

22=4 是以数字 4 为开头的；

1. ＝ 8 是以数字 8 为开头的；

2. ＝ 16 是以数字 1 为开头的；

3. ＝ 32 是以数字 3 为开头的；

4. ＝ 64 是以数字 6 为开头的；

5. ＝ 128 是以数字 1 为开头的；

28=256 是以数字 2 为开头的；

29 ＝ 512 是以数字 5 为开头的；

210=1024 是以数字 1 为开头的；

如此等等。读者可能猜得到，2 的方次幂中，开头一位数字的出现并不是等可能的。事实上，以 7 为开头的，要到 246 才出现、；以 9 为开头的， 要到 253 才出现。这样看来，似乎要求出数字 n 作为 2 的整次方幂开头的概率 P（n），除大量试验统计外别无他法。其实不然，我们仍可以通过巧妙地利用“等可能性”来计算。为此，令 Sk=2K（K 为自然数）

则（lg2）·K=lgSk

由于 lg2 是一个无理数，因此所有 lgSk 的小数部份均匀分布在 0 到 1 之间，即 lgSk 的对数尾数，在 0～1 出现是等可能的。（这里需要读者仔细思考一下为什么）

注意到 Sk 若以数字 1 为开头，则其对数尾数必在 lg1 与 lg2 之间；⋯⋯

Sk 若以数字 2 为开头，则其对数尾数必在 lg2 与 lg3 之间；⋯⋯根据机会均等原则，在 2k 中，各数字开头的概率：

P（1）=lg2-lg1＝0.3010； P（2）＝lg3-lg2＝0.1761； P（3）＝lg4-lg3＝0.1249； P（4）＝lg5-lg4＝0.0969； P（5）＝lg6-lg5＝0.0792； P（9）＝lg10-lg9＝0.0458。

⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯

现实统计 2 的前 332 次幂，得出以下试验结果：

可以看到，理论计算与试验结论是相当吻合的。

以上例子表明，用机会均等原则计算概率，关键要用得巧，用得活。平面的情形也类似。常见到一些小朋友玩投币游戏：在地上画一个能容四枚硬币的方框。参加者取一枚硬币，在距方框 30cm 高处瞄准方框投下。若硬币落入框中，则得 2 分；若压框边或落框外，则得-1 分。每人投 20 次，总计得正分者胜。

严格地说，游戏中瞄准方框投的硬币落在平面上各点的可能性是不均等的。但由于投币点较远，且方框不大，所以投的币落在方框周围，可以近似地认为是等可能性的。由于要使硬币落入框内，必须使币心 O 落在上图阴影小正方形内，因而硬币落入框内的概率为：

P = 阴影正方形面积大正方形面积

（2r） ² 1

= （4r） ² = 4

所以，尽管落入框内一次得 2 分，但得负分的机会几乎要大 3 倍，因此这个游戏取胜的希望是很少的。

利用机会均等原理，巧妙地计算概率的最为简单和动人的例子，莫过于以下的相遇问题：两人相约在 0 时到 1 时之间相遇，早到者应等迟到者 20

分钟方可离去。如果两人出发是各自独立，且在 0 时到 1 时之间的任何时刻是等概率的，问两人相遇的可能性为几？

为简便起见，假定两人分别在 X 时与 Y 时到达，依题意必须满足：|X-

Y| ≤ 1

3

才能相遇。

显然，两人到达时间的全部可能性，均匀地分布在上图的一个单位正方形Ⅰ内。而相遇现象，则发生在上图的阴影区 G 中，根据机会均等原则得两人相遇的概率：

P = SG

SI

1−