从《歧路亡羊》谈起

《歧路亡羊》是《列子》中一篇寓意深刻的故事。文如下：

杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路。”既返，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰；“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”下面我们就来研究一下杨子的邻人，找到丢失的羊的可能性有多大。假

定所有的分叉口都各有两条新的歧路。这样，每次分歧的总歧路数分别为 21， 22，23，24，⋯，到第 n 次分歧时，共有 2n 条歧路。因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的，所以当羊走过 n 个三叉路口后，一个人在某条

1

歧路上 找到羊的概率只有 2n 。

例如，当 n＝5 时，即使杨子的邻人动员了 6 个人去找羊，找到羊的可能性也只有

1 3

P = 25 ×6 = 16 = 0.1875

还不及五分之一。可见，邻人空手而返，是很自然的事了！

现在我们再设想道路是这样特殊：从第二次分歧起，邻近的歧路相连通成一个新的“丫”字叉口，像下图所示那样。显然，当丢失的羊在这种特殊的歧路网上，走到第一个三叉口时，它既可能从东边，也可能从西边走入不同的两条南北走向的街。这样情形我们记为：（1，1）。接着往下有三条南北走向的街：只有一直向左转时，羊才会进入东边的那条；羊进入中间的一条街有两种可能，第一次向左而第二次向右，或第一次向右而第二次向左； 只有两次都向右时，羊才能进入西边的那条街，概括三种情形，我们记为（1， 2，1）。同样分析可以得知，再接下去的四条南北走向街的情形可记为：（1，

3，3，1）记号中的每一个数字，都代表到达相应街的不同的路线数。如此下去，我们可以得到一个奇妙的数字表。

这个三角形表的每行两端都是 1，而且除 1 以外的每个数都等于它肩上两个数字的和。这是因为。它实际上表明了丢失的羊到达该数字地点的路线数，所以应等于两肩路线数的累加。

类似的数字表早在公元 1261 年就出现在我国数学家杨辉的著作中，所以我们称它为：“杨辉三角”。在欧洲，这种表的出现要迟上四百年，发现者就是前些节故事中提到过的法国数学家巴斯卡。因此国外常把这种表叫做“巴斯卡三角形”。

杨辉三角第 n 排的数字和，实际上就是《歧路亡羊》中第 n 次分叉后的总的歧路数，所以应当等于 2n。例如，表最后一排的数字和：

1+6＋15＋20＋15＋6＋1＝26

为方便起见，我们把杨辉三角中第 n 排的除开头“1”以外的第 k 个数字记为 Ckn。这样做的优点是，今后如若需要了解到达上述位置会有多少可能的路线时，无需思考，立即知道是 Ckn 条。

下面要讲的是概率论中颇为重要的课题——独立重复试验。我们很快就会看到：将要得到的结果，与杨辉三角之间的联系是很密切的。

以掷币为例。如果我们把掷币中出的正面和反面的可能，比喻成杨辉三角中向左和向右的路线，那么，杨辉三角中的第一排（1，1），就相当于掷

第一枚币时出现的（正，反）可能；而第二排的（1，2，1），就相当于重复掷两枚币时出现的（两正，一正一反，两反）可能；而第三排中的（1，3，3， 1），就相当于重复掷三枚币时出现（三正，二正一反，二反一正，三反）的可能，如此等等。这样，杨辉三角中第 n 排各数，与掷 n 枚币出现的各种可能性的数目有以下对等关系。

于是，我们得出，重复 n 次掷币，出现 k 次正面或反面的概率为：

P (k) = C^k · 1

n n 2n

例如，掷 6 次币，出现三次正面的概率

P⁶ (3) = C³· 1

26

= 20 = 0.3125

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式中的 C36＝20，是从杨辉三角表中相应位置查到的。

上面我们讲的掷币，每次出现正、反机会都是均等的。假如某事件出现的的概率是 P，那么在 n 次试验中，该事件恰好出现 k 次的概率又如何呢？ 这只要注意到一个事实，即在杨辉三角中，任何到达“Ckn”的路线，都必须是恰好向右走 k 次，向左走 n-k 次，这里，假如我们把向右走相当于事件发生，向左走相当于事件不发生，那么，任何一条到达“Ckn”位置线路的概率均为 Pk（1-P）n-k，其中（1-P）是事件不发生的概率。由本节开头的分析知道，到达“Ckn”的线路数即为 Ckn，所以我们即得 n 次试验中，事件出现 k 次的概率公式：

Pn（k）=Ckn·Pk（1-P）n-k