数列趣题的答案

常常见到这样的趣题，给出若干个数，要求你找出其规律，且判断下一个数是几。有趣的是，它的答案往往不唯一。

比如数列 1，2，3，⋯⋯，它的第四项是什么数？

你会说：第四项是 4，这固然不错，因为这时你把数列通项 an 视为 n。但如果我说：第四项是 10（或其它数），也正确，因为我们也可以把此数列通项看作：

an＝（n－1）（n－2）（n－3）＋n。

再写一个数列：1，4，9，16，⋯⋯，它的第五项是几？ 你会想到 25，这时你是认为：an＝n2。

可 如 果 你 把 数 列 通 项 取 为 ： an＝（n－1）（n-2）（n-3）（n-4）＋n2， 这样该数列第五项便是 49。

这个奥妙出在 n-1、n-2、n-3、n-4 的连乘积上（n＝1，2，3，4 时乘积为 0）。

再如你能否找到一个通项公式，使数列的前面几项是： 1，2，3，5，⋯⋯

注意到（n-1）（n-2）（n-3）。当 n＝1，2，3 时它的值都是 0，而 n

＝4 时它的值是 6，这样通项可取： an=（n-1）（n-2）（n-3）＋n2，

n3

即 an = 6

• n²

− 17

6

n − 1，这样使人看起来便有点玄妙莫测了。

再难一点的例子，请给出数列： 2，4，6，666，10，666，14，⋯⋯的通项表达式。

注意到 f（n）=（n=1）（n=2）（n-3）（n-4）（n-5）（n-6）（n-7）， f（n）/（n-4）当 n＝4 时值为-36，

f（n）/（n-6）当 n＝6 时值为-120。这样：

an＝2n＋[（666-2n） f（n）]/[（36n-4）]-[（666-2n） f（n）]/[120

（n-6）]。

有人花了十五年时间，想在看到序列之前就找到它的规律。即对数列{an} 来讲，任意给定 a、b、c、d、e，而使

a1=a，a2＝b，a3＝c，a4=d，a5＝e

这样数列的通项公式可以写成：

an =

(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)

(1 - 2)(1- 3)(1 - 4)(1- 5) a +

( n − 1)( n − 2)(n − 4)(n − 5) b +

(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)

( n − 1)( n − 2)(n − 4)(n − 5)

(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) c +

( n − 1)( n − 2)(n − 3)(n − 5)

(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) d +

( n − 1)( n − 2)(n − 3)(n − 4) e

(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

这个通项公式实际上与《计算方法》中的 Lagrange 插值公式有关，这在你以后的学习中将有机会遇到。