满足条件最小的⋯⋯

这是流传于欧洲的故事。一位国王给他的大臣们出了这样一道算题： 一个自然数，它的一半是完全平方数，它的三分之一是完全立方数，它

的五分之一是一个开五次方恰好开尽的正整数。求这个自然数。据说解答出自一个名不见经传的佣人之手。

我们姑且不谈佣人是如何求得这个数的，这儿用现在的数学方法与语言来解答这个问题。

设所求的自然数 N（显然这种数不唯一），N 的最小值可以写成 2a·3b·5c的形式，其中 a、b、c 为自然数。依题意：

N/2 是完全平方数，即 2a-1·3b·5c 应是完全平方数，这样 a－1 应为 2 的倍数即偶数，即 a 为奇数，同时 b、c 也应为偶数。

N/3 是完全立方数，即 2a·3b-5c 应是完全立方数，那么 b-1 应是 3 的倍数，即 b 为 3k+1 的形式（k＝0，1，2，⋯），且 a、c 同应为 3 的倍数；

N/5 是一个完全五次方数，即 23b5c-1 应能尽开五次方，这样 c 应为 5m

＋1（m＝0，1，2，⋯）形状，而 a、b 应为 5 的倍数。

综上，a 是既能被 3 整除又能被 5 整除的奇数，则它最小为 15

b 是既能被 2 整除、又能被 5 整除，且被 3 除至 1 的数，则它最小是 10； c 是既能被 2 整除、又能被 3 整除，且被 5 除余 1，则它最小是 6。

这样最小的 N＝215·310·56＝30233088000000，它是一个比 30 万亿还大的天文数字！

这儿再强调一句：满足题设的自然数 N 显然不唯一。

附记 有些问题的答案貌似简单，但实际结果往往却大的惊人，比如“阿基米德群牛问题”也是如此，问题是这样的：

有一群白、黑、褐、杂色牛中，已知白色公牛数等于（1/2＋1/3）黑色公牛数加上褐色公牛数；黑色公牛数等于（1/4＋1/5）杂色公牛数加上褐色公牛数；杂色公牛数等于（1/6＋1/7）白色公牛数加上褐色公牛数。

又白色母牛数等于（1/3＋1/4）黑牛（包括公、母牛）数；黑色母牛数等于（1/4＋1/5）杂色牛数；杂色母牛数等于（1/5＋1/6）褐牛数；褐色母牛数等于（1/6＋1/7）白牛数。

同时白色和黑色公牛全体恰好可摆成一个正方形；杂色和褐色公牛全体恰好可摆成一个三角形。

请问：每种颜色的公、母牛各几何？

这个问题又列成含八个未知数的七个方程，答案是：白色公牛数为 1598

×10206541（公牛总数是 7766×10206541）这是一个大得出奇的天文数字。