蒙特卡洛方法

选优，是人类赋予科学的永恒课题。对同一个问题来说，选优的方法一般是很多的。从众多的选优方法中，找出最优的方法，这就是优选法。下面一个流传很广的智力测验题，可以生动地说明优选法的实质。

有 12 个球，外表全然一样，已知其中有一个球重量异于其他，但不知其较轻或较重。试用无砝码天平称量比较，找出这个“伪球”，并指出它较轻或较重于“真球”。

如果不限制称量比较的次数，那么要找到伪球是轻而易举的。但是，假如限定你只能用无砝码天平称量 3 次，你一定会感到不那么容易！可以证明，

在我们的问题中，通过 3 次称量，能够处理的最多球数是 12 个。一般地，用无砝码天平称量 n 次，能够处理的最多球数如下表。见图 1，像这样，用最少的比较次数，去处理最多球数的方法，就是优选法需要研究的。

上面的问题中有一个前提，即在众多的球中只有一个是伪球。如果伪球不止一个，而是若干个。即所有需要判定的球分为两类：一类叫“真球”， 一类叫“伪球”，它们外表都相同，只是重量略有差异。其实，“真”、“伪” 只是一种称呼而已，所以为方便起见，今后我们总把伪球看成比真球略重些。多个伪球的问题，显然要比单一伪球的问题更为复杂。比如有 20 个这样的球，那么光是判定伪球的数目，你就非得用无砝码天平称量十一次以上不可！

现在再进一步假设：球的数量极多，而且重量各不相同。这时问题显然大为复杂。蒙特卡洛方法就是告诉我们，怎样从大量的球中，去寻找较重或较轻球的办法。设想所有的球人为地分为两类，一类是较轻的真球，一类是较重的伪球。蒙特卡洛方法说，只要从所有的球中，随机选取 r 个球，则其中最重的球，基本上是伪球。

上述方法，似乎令人难以置信，然而事实确实如此！实际上，我们可以把随机抽取的 r 个球，看成是相继抽取的。由于假设的数量很多，所以为了简化计算不妨认定每次取出球后又放回。这样，如若假定真球有 m 个，伪球

有 n 个， 那么每次抽到真球的概率均为

r 次都抽到真球的概率为：

m

m + n 。

m

( m + n

)·(

m

m + n) (

m m + n

) = (

m r

m + n)

因此 r 次中至少有一次抽到伪球的概率为：

P＝1- （

m r

m + n ）

当 r 增大时，上式的后一项将变得很小，从而 P 将很接近于 1。这就是说，在所抽的 r 个球中含有伪球，是十拿九稳的事。

蒙特卡洛方法是确定大量事物中某种特定状况问题的，即快速又管用的一种方法。

例如，测定学校里学生的弱视状况。假定全校有 1000 个学生。今随机抽

查 10 个组，每组 10 人。发现有 8 个组都有人视力在 0.5 以下。问该校学生的弱视状况如何？

由于 10 组中有 8 组发现弱视现象，所以弱视的概率为 0.8。代入前面的公式，因为 m＋n＝1000，则

m

0.8 = 1- （ 1000 ）10

m

（ 1000

）¹⁰ = 0.2

lg（

m 1000

1

）＝ 10

lg0.2

求得 m＝851， n＝149

即知该校大约有 15％的人是弱视。

蒙特卡洛方法在优选法中也叫统计试验法，它的不足是因为是统计方法，大数定律在起作用，免不了有机遇的成份所以抽取的次数 r 要大些才行。